Wie rechne ich den Vektor (Flächeninhalt)?

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1 Antwort

Ok, du hast nun folgende Punkte gegeben:

A = (1; 7)

B = (-5; 3)

C = ( x; 0.5x + 1)

Erweitern wir nun auf den 3 Dimensionalen Fall, wobei A,B und C in einer Ebene liegen sollen (einfachheitshalber wähle die X-Y-Ebene).

Somit erhalten wir:

A´ = (1; 7; 0)

B´ = (-5; 3; 0)

C´ = (x; 0.5x + 1; 0)

Berechnen der Vektoren AB´ und AC´ liefert dann nun:

AB´ = B´ - A´ = (-6; -4; 0)

AC´ = C´ - A´ = (x-1; 0.5x -6; 0)

Wir bilden nun das Kreuzprodukt beider Vektoren und erhalten somit einen Vektor der senkrecht auf der x-y-Ebene steht und dessen Betrag der Fläche des von den beiden Vektoren aufgespannten Parallelograms entspricht.

--> AB´ x  AC´  = n

Da n senkrecht auf der X-Y-Ebene steht, kann n nur eine Z-Komponente besitzen, wir erhalten daher:

n_x = 0

n_y = 0

Und dann für die Z-Komponente:

n_z = (-6)*(0.5x - 6) - (x-1)*(-4)

--> n_z = -3x + 36 + 4x - 4

--> n_z = x + 32

Der Flächeninhalt des Parallelogramms welches durch AB und AC augespannt wird entspricht dem Betrag von n, daher folgt schließlich hier der Flächeninhalt des Dreiecks zu der Hälfte des Flächeninhalts des Parallelogramms:

A(Dreieck) = |n|/2 = |(x + 32)|/2 = |0.5x + 16|


Wir erhalten also entgültig für den Flächeninhalt des Dreiecks:

A(x) = |0.5x + 16|  

wobei für x ungleich -32 ---> A(x) > 0  folgt.

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