Wie Punkt an Ebene spiegeln?

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4 Antworten

Hallo,

bei der x1-x2-Ebene, entsprechend bei x2-x3 und x1-x3 ist das doch ganz einfach.

Beispiel Punkt (2|3|1) an der x1-x2-Ebene.

Du stößt auf ihn, wenn Du 2 Einheiten in x1-Richtung gehst, 3 in x2 Richtung und 1 Einheit in x3-Richtung. Machst Du aus (2|3|1) einfach (2|3|-1), hast Du ihn an der x1-x2-Ebene, also an der, die von den beiden ersten Achsen aufgespannt wird, gespiegelt.

Bei x1-x3 veränderst Du das Vorzeichen der x2-Komponente, bei x2-x3 das der x1-Komponente.

Bei anderen Ebenen siehe Link von Ellejolka.

Herzliche Grüße,

Willy

Lieben Dank, ich denke genau das meinte unser Lehrer (:

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@blackrose0022

Aber Vorsicht: Das kannst Du nur machen, wenn ein Punkt an den Ebenen gespiegelt wird, die von den Koordinatenachsen aufgespannt werden. Bei anderen Ebenen funktioniert das so nicht, weil sich dann in der Regel Punkt und Spiegelpunkt auch in den anderen Koordinaten unterscheiden.

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@Willy1729

Was meinen Sie denn mit anderen Ebenen? 

Und mir fällt grade was auf, wenn zB der Punkt (-4|0|0) an der x1x2 Evene gespiegelt werden soll, müsste die dritte Komponente doch trotzdem 0 und der Punkt somit eigentlich unverändert bleiben, oder irre ich mich?

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@blackrose0022

Stimmt. Wenn Du einen Punkt, der in einer Ebene liegt, an dieser Ebene spiegelst, spiegelst Du ihn auf sich selbst.

Das wiederum gilt für alle Ebenen.

Zu Deiner anderen Frage: Es gibt nicht nur Ebenen, die sozusagen die Wände und den Boden des Koordinatensystems bilden, sondern unzählige andere, die in allen möglichen Winkeln kreuz und quer im Raum verteilt sind.

Wenn Du an denen einen Punkt spiegelst, reicht es nicht, nur bei einer Koordinate das Vorzeichen zu verändern. Aber darum geht es im Moment ja wohl noch nicht; dazu kommt Ihr noch.

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@Willy1729

Alles klar, ich hab alles sehr gut verstanden soweit. Vielen Dank noch mal, dass Sie sich Zeit dafür genommen haben. (:

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Vielen Dank für den Stern.

Willy

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Ich hätte hier am besten den Normalabstand des Punktes zur Ebene berechnet, und diesen Vektor dann *-1 genommen...

Alles klar.. Aber wenn man weder Ebenen noch die Koordinatenform hatte kann man die Aufgabe so doch eigentlich nicht lösen, oder?

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@blackrose0022

Stimmt, ohne Daten zur Ebene, an der gespiegelt werden soll, kannst Du dann nichts machen.

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  Von der Parameterform ( PF ) zur Koordinatenform ( KF ) kommst du über die ===> Determinante.

    P € E  :=  (  x  |  y  |  z  )    (  1  )

   P  =  P0  +  r  u  +  s  v  |   - P0   (  2a  )

       r  u  +  s  v  =  P  -  P0    (  2b  )

   das wird jetzt alles bissele abstrakt, weil du kein Zahlenbeispiel postest.
 (
2b ) ist ein LGS in den beiden Unbekannten r und s ; seine ===>
Koeffizientenmatrix ( KM ) ist vom Format 3 X 2 und hat Rang 2. Demnach
ist die erweiterte KM QUADRATISCH vom Format 3 X 3 - Nach einem Satz der
Agula ist das LGS ( 2b ) nur dann lösbar, wenn auch ihr Rang 2 beträgt;
ihre DETERMINANTE VERSCHWINDET .

   det  (  u  |  v  |  P  -  P0  )  =  0   (  3  )

   die Wenigsten kennen die anschauliche Bedeutung hinter der Determinante ===> Spatprodukt; Spatvolumen .

   ein IQ-Test; Quadrat verhält sich zu Rechteck wie Würfel zu? Quader.

   Rechteck verhält sich zu Parallelogramm wie Quader zu? Spat.

  ( 2b ) besagt doch: Der Vektor ( P - P0 ) liegt ===> komplanar zu u und v .

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