Wie prüfe ich, dass drei Vektoren ein rechtwinkliges Koordinatensystem aufspannen?

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Für 2 rechtwinklige Vektoren v und u gilt:

<v,u> = 0    [ < arg1 , arg2 > entspricht dem standard Skalarprodukt ]

Das Skalarprodukt ist nämlich alternativ wie folgt definiert:

<v, u> = cos(phi)*IIvII*IIuII

(II arg II enstspricht der euklidischen Norm, 2er Norm)

wobei Phi der Winkel zwischen den Vektoren v und u ist

Daraus folgt für einen Winkel von Phi = 90° --- >   < v, u > = 0

Also ist die Orthogonalitätsbedingung für 2 Vektoren u und v, wie oben schon erwähnt:  <u, v> = 0

In deinem Fall mit v1, v2, v3 gilt es also jetzt zu zeigen:

1.)  < v1, v2> = 0 ,   2.)  <v1, v3> = 0     ,  3.)  < v2, v3> = 0  4.)  <v2, v1> = 0

1.) v1 ist orthogonal zu v2

2.) v1 ist orthogonal zu v3

3.) v2 ist orthogonal zu v3

4.) v2 ist orthogonal zu v1

Wenn du dies ausprobierst, so ist dies auch der Fall.

Danke vielmals, das hat mir wirklich sehr geholfen!

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Nach was du suchst ist eine Orthogonalbasis.

Das bedeutet erstens, dass die Menge {v1, v2, v3} eine Basis ist, du spannst also den kompletten R³ auf. Das sollte hier wohl nach Hingucken gegeben sein, da v1 die x1-Koordinate aufspannt und v2 und v3 linear unabhängig in der x2-x3-Ebene sind.

Dazu soll diese Basis orthogonal sein, das bedeutet, dass alle Vektoren einen rechten Winkel zueinander haben, also dass das Skalarprodukt immer 0 ist.

v1 . v2 = 1 * 0 + 0 Cos(x) - 0 Sin(x) = 0,

v1 . v3 = 1 * 0 + 0 Sin(x) + 0 Cos(x) = 0,

v2 . v3 = 0 + Sin(x)Cos(x) - Sin(x)Cos(x) = 0,

also ist eine Orthogonalbasis gegeben.

Noch mehr, wir haben sogar eine Orthonormalbasis, alle Vektoren haben also Länge 1 (bedenke, dass Cos(x)² + Sin(x)² = 1). Das bedeutet, dass die Längenmessung in diesen Koordinaten auch die selbe ist wie in den kanonischen Koordinaten des R³, was sich manchmal als sehr nützlich erweisen kann.

LG

Herzlichen Dank für deine Hilfe, das ist ja viel einfacher als ich dachte :) 

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Wenn du sie Nebeneinander (oder auch übereinander) in eine Matrix schreibst, hat die vollen Rang (also Kern={0}).

Edit : Det!=0 ist in diesem Fall wohl eine bessere Möglichkeit den vollen Rang zu zeigen.

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