Wie Nullstellen berechnen in der 8 Klasse?

5 Antworten

Hallo,

ich gebe Dir mal ein Beispiel:

x²+3x-4=0

Du hast hier mindestens zwei Möglichkeiten, die Nullstellen zu bestimmen:

Zum einen kannst Du diese Gleichung in das Produkt aus zwei Termen umwandeln nach dem Muster (x+a)*(x+b)=0 

Wenn Du das ausklammerst, steht da: x²+ax+bx+ab oder 

x²+(a+b)x+ab

Übertragen auf unser Beispiel heißt das:

a+b=3 und a*b=-4

Du müßtest also überlegen, welche beiden Zahlen miteinander multipliziert -4 ergeben und wenn Du sie addierst, 3.

Das geht nicht immer - aber hier schon. -4 kann entweder das Produkt aus 2 und -2 sein, was aber als Summe 0 ergibt und nicht drei. Es kann auch 1*-4 sein, das gäbe als Summe -3 - auch das paßt nicht ganz. Aber -1*4=-4 und -1+4=3 - das stimmt.

a ist also -1 und b ist gleich 4.

Nun kannst Du die Gleichung umformen:

(x-1)*(x+4)=0

Diese Gleichung wird 0, wenn eine der beiden Klammerterme gleich Null wird.

Also entweder, wenn x=1 oder wenn x=-4 ist. Das wären Deine beiden Nullstellen.

Wenn Du diese Art, quadratische Gleichungen zu lösen, übst, kannst Du einfache im Kopf lösen.

Es ist aber nicht immer so einfach. Die Nullstellen sind nicht immer so glatte Zahlen wie in diesem Fall. 

Deshalb mußt Du noch eine zweite Methode kennen, mit der auch schwierigere Fälle zu lösen sind: die pq-Formel.

Die funktioniert nur, wenn vor dem x² kein anderer Faktor als 1 steht, sonst müßtest Du erst mal durch diesen Faktor teilen.

Wenn die Gleichung 2x²+6x-8 lautete, müßtest Du zuerst alle Glieder der Gleichung durch 2 teilen und erhieltest wieder x²+3x-4=0 (Du mußt dann natürlich auch die 0 durch 2 teilen, aber 0:2 bleibt 0 - da ändert sich nichts.

Wenn Du eine quadratische Gleichung der Form x²+px+q=0 vorliegen hast, lautet die Lösung für die Nullstellen:

x1=-(p/2)+√((p/2)²-q)

x2=-(p/2)-√((p/2)²-q)

Setze für p die 3 ein und für q die -4, so erhältst Du als Lösungen:

x1=-(3/2)+√((3/2)²+4)

x2=-(3/2)-√((3/2)²+4)

Wenn Du dies ausrechnest, bekommst Du für x1 die 1 als Lösung

und für x2 die -4, also genau die Zahlen, die wir mit der anderen Methode auch gefunden haben.

Eine quadratische Gleichung kann zwei, eine oder keine Nullstellen haben.

Wieviele es sind, erkennst Du bei der pq-Formel am Ausdruck unter der Wurzel. Steht unter der Wurzel eine Zahl größer als Null, bekommst Du zwei Lösungen; steht da eine Null, bekommst Du eine Lösung; wird der Ausdruck unter der Wurzel negativ, hat die Gleichung überhaupt keine Lösung - die Funktion besitzt keine Nullstelle.

Rechne das Beispiel sorgfältig durch und denke Dir Gleichungen mit anderen Zahlen aus, dann sollte die Sache klappen.

Viel Erfolg,

Willy

Einfach umstellen, oder einfach mit Grafischen Taschenrechner schummeln. Bin in der 9.Klasse und weiß den Solver in der Mathe Arbeit zu schätzen, zumindestens um meine Lösungen zu prüfen, obwohl ich eh 2 stehe :)

Aha.

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https://www.youtube.com/watch?v=St0XxnMLReg

meinst du die pq-Formel? sonst musst du vielleicht ein Beispiel posten.

Das kann ich nur unterstützen. Es gibt immerhin mehrere Verfahren, quadratische Gleichungen zu behandeln. Wenn man dem FS alle schildert oder gerade nicht das, was er/sie in der Schule nicht begriffen hat, kann man ihn/sie nur verwirren!

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Y gleich 0 setzen und nach x auflösen :)

die gleichung 0 setzen & x ausrechnen

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