Wie nennt man dieses Viereck?

3 Antworten

Es hat die gleiche Bezeichnung wie das Ausgangsviereck. Bei einem allgemeinem Viereck wird die Beziehung schwierig aufzustellen sein, bei einem speziellen wie Trapez, Drachenviereck oder den 4 Parallelogrammarten entsteht ein ähnliches Viereck über die Seitenverhältnisse der Seitenhalbierenden (Schwerpunkt) der entstehenden Dreiecke. Schau ins Tafelwerk und stelle selbst die Formeln zusammen.

ich meine alle convexe vierecke.

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Wenn Du die beschriebene Konstruktion bei einem Rechteck ausführst, ergibt sich m. E. sicherlich kein neues Rechteck, sondern eine Raute ...

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@claushilbig
  • In einem Rechteck ergibt sich eine Raute,
  • in einem Quadrat ein Quadrat,
  • in einem symmetrischen Trapez ebenfalls eine Raute,
  • in einem Drachen ein Rechteck,
  • in einem Parallelogramm ein Parallelogramm (das aber nicht ähnlich ist)
  • in allen andern Vierecken ebenfalls ein Parallelogramm.

Also in keinem Viereck (außer dem Quadrat) entsteht ein ähnliches Viereck ... :(

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Ich habe die Konstruktion gerade mal mit GeoGebra ausgeführt, und dann die Eckpunkte des Ausgangsvierecks lustig verschoben. Danach sieht es so aus, dass sich immer (bei jedem beliebigen Ausgangsviereck) ein Parallelogramm als neues Viereck bildet, wobei die Seiten des Parallelogramms parallel zu den Diagonalen des Ausgangsvierecks sind.

Außerdem sieht es danach aus, als ob die Fläche des neuen Vierecks immer 2/9 der Fläche des Ausgangsvierecks wäre (oder anders gesagt, A1/4,5 = A2).

Beweisen lässt sich beides vermutlich irgendwie über die Tatsache, dass der Schwerpunkt die Seitenhalbierenden der Dreiecke immer im Verhältnis 2:1 (oder auch 2/3 : 1/3) teilt. Dazu habe ich Im Moment aber keine konkrete Idee ...

Beweis zur Form:

Zeichne z. B. für die beiden Dreiecke, die den Punkt A als Ecke haben, die Seitenhalbierenden durch A auf die Diagonale [BD]. Die Schwerpunkte der beiden Dreiecke teilen die Entfernung von A bis zum jeweiligen Fußpunkt (auf der Diagonalen) im gleichen Verhältnis. Aus der Umkehrung eines Strahlensatzes folgt, dass die Verbindung der beiden Schwerpunkte parallel zur Ausgangs-Diagonalen ist.

Wenn man das für alle 4 Eckpunkte macht, müssen jeweils 2 Seiten des neuen Vierecks parallel zu einer Ausgangs-Diagonalen sein. Sind aber 2 Geraden beide parallel zu einer dritten, so sind die beiden Geraden auch zueinander parallel. Es gibt also zwei Paare paralleler Seiten, somit ist das neue Viereck ein Parallelogramm.


Beweis zur Fläche:

Zunächst mal zur Ideenfindung: In dem Spezialfall, dass das äußere Viereck ein Quadrat ist, ergibt sich aber als inneres Viereck ebenfalls ein Quadrat, dessen Diagonale 2/3 der Seitenlänge des äußeren Quadrates ist (da lag Comment0815 knapp daneben). Nun kann man entweder Herrn Pythagoras für die Berechnung der Seitenlänge des inneren Quadrates bemühen, oder es ein wenig zerschnippeln (in 4 Dreiecke) und anders zusammensetzen (zu 2 kleineren Quadraten), so dass man erkennt, dass die Fläche 2 * (1/3)² = 2/9 der Fläche des großen Quadrates beträgt.

Ein allgemeiner Beweis kann darüber laufen, dass man sich für die vier Dreiecke ansieht, welches Teilstück das innere Viereck abdeckt - diese Teilstück ist ebenfalls ein Parallelogramm. Dessen Fläche lässt sich allgemein über die bekannte 2/3-Lage des Schwerpunktes bestimmen: Das Dreieck hat die Fläche gh/2, das abgedeckte Parallelogramm hat die Fläche (g/3)(h/3)=gh/9 (nach Strahlensatz wird die Höhe im gleichen Verhältnis geteilt wie die Seitenhalbierende). Also wird jeweils 2/9 der Dreiecksfläche abgedeckt und damit in Summe aller 4 Dreiecke, die ja zusammen das äußere Viereck bilden, auch 2/9 der Gesamtfläche.

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@claushilbig

PS:

Das ganze gilt übrigens nicht nur für konvexe Vierecke, sondern für beliebige, also auch konkave und sogar "überschlagene" (also Vierecke mit sich schneidenden Seiten).

Der Beweis für die Form gilt dabei genauso. Ob sich der Beweis für die Fläche verallgemeinern lässt, müsste ich mir noch mal genauer ansehen, dazu habe ich jetzt aber keine Lust (oder besser: keine Zeit) mehr ...

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Du meinst mit "Viereck" Quadrate, oder?

Leite dir das doch selbst her. Du scheinst doch ein ganz gutes Verständnis dafür zu haben.

Wenn ich mich jetzt nicht verrechnet habe müsste das Verhältnis der Kantenlängen des inneren Quadrates zur Kantenlänge des äußeren Quadrates 2/3 : 1 sein. Aber mach dir besser nochmal eine Skizze dazu und leite es selbst her.

ich meine alle convexe vierecke.

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@idahase

Also für Quadrate sollte mein Ansatz stimmen. Aber für allgemeine Vierecke musst du dir das dann vielleicht selbst herleiten.

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