Wie mache ich das mit den Parabeln?

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3 Antworten

dein Ansatz für den Schnittpunkt mit der y-Achse ist richtig - dort ist ja " x = 0 ".

Überprüfen, ob ein Punkt (x-Wert, y-Wert) auf der Funktion liegt? - ganz einfach einsetzen, den x-Wert für " x ", den y-Wert für " y ". Und dann ausrechnen: wenn was "richtiges" rauskommt (5 = 5 z.B.), dann liegt der Punkt auf der Funktion. Kommt dort Unsinn raus (5 = 3 z.B.), dann liegt der Punkt nicht auf der Funktion.

deepshit 01.04.2017, 12:35

Also als Beispiel mit dieser Aufgabe:

Die Funktion lautete ja

Y= (x+2.5)^2+3

Und dann setze ich p1 ein

Das wäre dann 6=(-1.5+2.5)^2+3

Also so hätte ich es jetzt macht. Und das dann ausgerechnet müsste 6=4 sein und somit würde der Punkt nicht auf der Funktion liegen, oder habe ich es falsch verstanden

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deepshit 01.04.2017, 12:39

Vielen Dank^^

Ich war mir halt immer so unsicher bei den Parabeln, da ich gerade alles selbstständig lerne. Danke:-)

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deepshit 01.04.2017, 14:19

Ich bräuchte nochmal Hilfe 😅☹️

Aufgabe:

Parabel p1 hat die Funktionsgleichung y=1/2x^2-2

Parabel p2 ist y=x^2-2x-2

Ivh soll den Schnittpunkt von den beiden ermitteln und danach soll ich die Funktion einer gerade nennen, der durch diesen Schnittpunkt verläuft.

Ich hätte p1 einsetzen in p2 gemacht und es ausgerechnet, aber ich bin mit meinem Rechenweg glaub nicht ganz korrekt. Ich bekomme zwar eine Zahl heraus die auch als Lösung aufgezeigt ist, aber irgendwie war meine Rechnung nicht komplett zu Ende und...ich mag Parabeln gerade überhaupt nicht :/

Könntest du mir erklären wie du es gemacht hast bzw wie du es machen würdest, mit den einzelnen Rechenschritten. Dann würde ich das thema vielleicht endlich mal komplett beherrschen.

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deepshit 01.04.2017, 14:30

Nein, ist nicht mehr nötig. Ich habe gerade selbst herausgefunden wie man auf die Lösung mit den Schnittpunkten kommt. Muss halt jetzt nur noch schauen wie ich das mit der gerade mache :D

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nach oben geöffnete Normalparabel: (a = 1)
Scheitelpunkt: S(d|e)
Scheitelpunktform: f(x) = a(x - d)² + e

Es folgt aus a = 1 und S(-2,5|3):
f(x) = (x - (-2,5))² + 3 = (x + 2,5)² + 3

x mit 0 gleichsetzen:
f(x) = (0 + 2,5)² + 3 = 2,5² + 3 = 6,25 + 3 = 9,25

Oder zuerst ausmultiplizieren / binomische Formel anwenden:
f(x) = (x + 2,5)² + 3 = x² + 5x + 2,5² + 3 = x² + 5x + 9,25

Das Absolutglied (die Zahl ohne x) ist der y-Achsenabschnitt, denn wenn x = 0, folgt
f(0) = 0² + 5 * 0 + 9,25

 = 9,25.

Ein Punkt hat die Form (x|f(x)).
Setze x = -1,5 und f(x) = 6 in f(x) = x² + 5x + 9,25 oder in f(x) = (x + 2,5)² + 3 ein:
6 = (-1,5)² + 5 * (-1,5) + 9,25
6 = 2,25 - 7,5 + 9,25
6 = 4
Falsche Aussage, also liegt der Punkt nicht auf dem Graphen.

x = -0,5 und f(x) = 7:
7 = (-0,5)² + 5 * (-0,5) + 9,25
7 = 0,25 - 2,5 + 9,25
7 = 7
Richtige Aussage, also liegt der Punkt auf dem Graphen.

deepshit 01.04.2017, 12:56

Vielen Dank für die ausführliche Erklärung/ Rechnung, aber das habe ich nun auch rausbekommen, nachdem Peter mir erklärt hat wie ich es machen soll :,D.

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deepshit 01.04.2017, 14:18

Aber, du könntest mir jetzt helfen.

Aufgabe:

Parabel p1 hat die Funktionsgleichung y=1/2x^2-2

Parabel p2 ist y=x^2-2x-2

Ivh soll den Schnittpunkt von den beiden ermitteln und danach soll ich die Funktion einer gerade nennen, der durch diesen Schnittpunkt verläuft.

Ich hätte es p1 einsetzen in p2 gemacht und es ausgerechnet, aber ich bin mit meinem Rechenweg glaub nicht ganz korrekt. Ich bekomme zwar eine Zahl heraus die auch als Lösung aufgezeigt ist, aber irgendwie war meine Rechnung nicht komplett zu Ende und...ich mag Parabeln gerade überhaupt nicht :/

Könntest du mir erklären wie du es gemacht hast bzw wie du es machen würdest, mit den einzelnen Rechenschritten wie gerade eben. Dann würde ich das thema vielleicht endlich mal komplett beherrschen.

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deepshit 01.04.2017, 14:31

Nein, ist nicht mehr nötig. Ich habe gerade selbst herausgefunden wie man auf die Lösung mit den Schnittpunkten kommt. Muss halt jetzt nur noch schauen wie ich das mit der gerade mache :D

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GiftigerOsaft 02.04.2017, 10:28
@deepshit

Zur Kontrolle deiner Lösung:

y = 1/2 x² - 2
y = x² - 2x - 2
Da y = y, muss 1/2 x² - 2 = x² - 2x - 2 gelten.

1/2 x² - 2 = x² - 2x - 2               |-1/2 x²
-2 = 1/2 x² - 2x - 2                    |+2
0 = 1/2 x² - 2x                          |*2
x² - 4x = 0                                |ausklammern
x(x - 4) = 0                               |Satz vom Nullprodukt
x₁ = 0 ∨ x₂ - 4 = 0
x₁ = 0 ∨ x₂ = 4

Erklärung zum Satz vom Nullprodukt:
Ist ein Faktor eines Produkts Null, so ist das Produkt Null.
Z. B. ist 0 * 4 = 0, x * 4 * (x  + 2) * 0 = 0, …
x² - 4x kann man zu einem Produkt ausklammern (x(x - 4)); dann muss man herausfinden, wann welcher Faktor Null ist.
Ist x = 0, so gilt 0 * (0 - 4) = 0 * (-4) = 0;
ist x = 4, so gilt 4 * (4 - 4) = 4 * 0 = 0.
Die Parabeln p₁ und p₂ haben also zwei gemeinsame Schnittpunkte.
Mit den zwei x-Koordinaten können wir die dazugehörigen y-Koordinaten herausfinden, indem wir beide x in eine Funktion einsetzen.

f(0) = 1/2 * 0² - 2 = -2
oder:
g(0) = 0² - 2 * 0 - 2 = -2
Hiermit haben wir den ersten Punkt P₁(0|-2).

f(4) = 1/2 * 4² - 2 = 1/2 * 16 - 2 = 8 - 2 = 6oder:
g(4) = 4² - 2 * 4 - 2 =16 - 8 - 2 = 6Der zweite Schnittpunkt ist also P₂(4|6).

Jetzt hast du drei Möglichkeiten für das weitere Vorgehen:
– ein lineares Gleichungssystem
– Einsetzen in die Zweipunkteform
– Steigung m und y-Achsenabschnitt b einzeln berechnen

1. Lineares Gleichungssystem
Die allgemeine Form einer linearen Funktion ist y = mx + b (da y = f(x), auch f(x) = mx + b).

Jetzt die Punkte einsetzen – x₁ = 0, y₁ = -2; x₂ = 4, y₂ = 6.
(I)    -2 = 0 * m + b
(II)    6 = 4 * m + b

In (I) entfällt das m, da m * 0 = 0,
somit ist b = -2.
Das setzt man in (II) ein und es folgt:
6 = 4m - 2                     |+2
8 = 4m                          |/4
m = 2

Die Funktion der Gerade lautet also y = 2x - 2.

2. Zweipunkteform
Die nach y aufgelöste Zweipunkteform lautet y = (y₂ - y₁) / (x₂ - x₁) * (x - x₁) + y₁.

Eingesetzt:
y = (6 - (-2)) / (4 - 0) * (x - 0) - 2
   = (6 + 2) / 4 * x - 2
   = 8/4 * x - 2
   = 2x - 2
– Steigung m und y-Achsenabschnitt b einzeln berechnen
Es gilt m = (y₂ - y₁) / (x₂ - x₁).
Also:
m = (6 + 2) / (4 - 0) = 8/4 = 2
In y = mx + b einsetzen:
y = 2x + b

Einen Punkt deiner Wahl einsetzen:
P₁(0|-2):
-2 = 2 * 0 + b
-2 = b

oder:
P₂(4|6):
6 = 2 * 4 + b
6 = 8 + b                    |-8
-2 = b
m = 2 und b = -2, also y = 2x - 2.

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