Wie löst man eine Variable aus hohen Potenzfunktionen?

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4 Antworten

Die Gleichung ist offensichtlich äquivalent zu 

4x^6 - 3x^4 + 90x^2 - 25 = 0.

Da hier nur gerade Exponenten auftreten, erscheint es sinnvoll, erst einmal zu substituieren. Ersetze also x² durch z:

4z³ - 3z² + 90z - 25 = 0.

Nun kann man versuchen, eine Nullstelle zu erraten und dann Polynomdivision betreiben.

Leider sind die Nullstellen dieses Polynoms gar nicht mal so leicht zu erraten. Da das Polynom aber Grad 3 hat (und nicht Grad 5 oder höher), gibt es eine Lösungsformel dafür: https://de.wikipedia.org/wiki/Cardanische_Formeln

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Mit einer Substitution u=x^2 kannst Du aus einer Gleichung 6. Grades schon mal eine kubische Gleichung machen. Diese könnte auf direktem Wege aufgelöst werden. Ist aber recht kompliziert.

Aber da Du schon mit dem Taschenrechner alle 6 Lösungen hast, vermute ich dass da auch ein paar ganzzahlige Lösungen dabei sind, die die weitere schriftliche Ausarbeitung erleichtern. Es müssten bei dieser Art von Gleichung jeweils "symmetrische" Lösungpaare herausgekommen sein der Art (-a, +a) . Du kannst dann daher gehen und Dein Polynom durch einen Term des Formats (x^2 - a^2) teilen und landest dann bei den quadratischen Gleichungen, die schon keine Mühe mehr machen.

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substituieren u=x²

4u³-3u²+90u-25=0   eine Nullstelle raten, Polynomdivision usw

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Substitution & Lösungsformel.

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