Wie löst man ein gleichungssymstem mit 3 unbekannten?

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4 Antworten

Ich erkläre dir das mal an der Beispielaufgabe von unten genauer.

a1) 6x + y - 3z =92

b1) x +2y - z =3

c1) 5x -4y -4z = 0

Du hast also drei Gleichungen. Von denen kannst du jetzt zum Beispiel b1) nach x umstellen. Die beiden anderen gingen auch, aber b1) bietet sich hier einfach gerade an und ist einfacher.

b2) x=3-2y+z

Jetzt weißt du, wieviel x in Abhängigkeit von y und z ist. Das kannst du in a1) und c1) einsetzen, um zweite Versionen dieser Gleichungen zu erhalten, die dann nur noch zwei Unbekannte haben.

a2) 6*(3-2y+z)+y-3z=92, also 18-12y+6z+y-3z=92, also -11y+3z=74

c2) 5*(3-2y+z)-4y-4z=0, also 15-10y+5z+4y-4z=0, also -6y+z=-15

Jetzt bietet es sich an, c2) nach z umzustellen.

c3) z=-15+6y

Dieses Ergebnis für z setzt du dann in a2) ein.

-11y+3*(-15+6y)=74, also -11y-45+18y=74, also 7y=119, also y=17

Das Ergebnis für y setzt du wiederum in c3) ein.

z=-15+6*17=87

y und z kannst du nun in b2) einsetzen.

x=3-2*17+87=56

(Zumindest, wenn ich mich jetzt nirgendwo verrechnet habe)

Generell gehst du so vor:

1. Suche dir eine Gleichung und eine Variable aus. Stelle die Gleichung nach der Variable um.

2. Setze das Ergebnis für diese Variable an ihrer Stelle in die anderen Gleichungen ein.

3. Suche dir eine andere Gleichung und eine andere Variable aus. Stelle wieder die Gleichung nach der Variable um.

4. Setze das Ergebnis für diese Variable an ihrer Stelle in die letzte Gleichung ein. Die dritte Variable kannst du nun einfach ausrechnen.

5. Setze den Zahlenwert für die dritte Variable in die zweite Gleichung ein und rechne die zweite Variable so aus.

6. Setze die Zahlenwerte für die zweite und dritte Variable in die erste Gleichung ein und rechne damit die erste Variable aus.

7. Wenn du dafür nicht (wie ich) zu faul bist, kannst du dein Ergebnis überprüfen, indem du die Zahlenwerte in die drei Ausgangsgleichungen einsetzt und schaust, ob sie stimmen.

Welche Gleichungen und Variablen du dabei wann wozu verwendest, ist egal. Mach es so, wie es dir am einfachsten erscheint. Am Ende kommt sowieso dasselbe Ergebnis raus.

Falls dir ein Schritt noch nicht ganz klar ist, frag ruhig nochmal genauer nach :)

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Kommentar von EinhornFussion
19.04.2016, 19:26

Danke, dass du dir soviel zeit genommen hast und dass es so gut erklärt ist :D

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Kommentar von Randler
19.04.2016, 20:44

Na er/ sie hat dir das ja wunderbar erklärt und dir alles vorgerechnet XD hilfreichste Antwort, Daumen hoch :)

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Du schreibst 2 Gleichungen untereinander
Diese müssen dann subtrahiert werden
Doch dazu muss entweder x,y,oder z wegfallen
Wenn schließlich nur mehr 2 unbekannte da sind machst du das mit der 3. Und mit deiner neuen Gleichung genau so

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hier wird es auch mit 3 Unbekannten beschrieben;

wichtig: 2 mal die gleiche Unbekannte rauswerfen.

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