Wie löst man diese Matheaufgabe (Stochastik)?

 - (Mathe, Mathematik, Abitur)

2 Antworten

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Weißt Du, was eine Normalverteilung ist?

Von einer solchen kannst Du hier ausgehen.

Normalverteilung bedeutet, daß die Wahrscheinlichkeit für das Auftreten eines Wertes immer geringer wird, je weiter er sich vom Erwartungswert entfernt.

Dabei gibt es Gesetzmäßigkeiten laut der Gaußschen Summenfunktion, wieviel Prozent der Werte in einem Bereich zu finden sind, der um soundsoviele Standardabweichungen um den Erwartungswert gruppiert ist.

Wenn von n Elementen ein gewisser Prozentsatz p eine bestimmte Eigenschaft aufweisen, liegt der Erwartungswert bei p*n.

Hier ist p=0,7, denn 70 % der Mitarbeiter kommen mit dem Fahrrad zur Arbeit.

Wenn es also 100 Mitarbeiter gibt, erwartet man, daß 100*0,7 mit dem Fahrrad kommen.

Das ist natürlich kein ehernes Gesetz, weil immer mal jemand sein Rad stehen läßt, weil es regnet, weil es kaputt ist oder er selbst zu müde und deshalb lieber mal mit dem Auto kommt, oder krank ist und gar nicht kommt usw.

Dennoch kann man sagen, daß es wahrscheinlicher ist, daß von den 100 Mitarbeitern 70 mit dem Rad kommen als beispielsweise nur 30.

Wie wahrscheinlich es ist, daß von 100 nicht 70, sondern zum Beispiel 80 kommen, kann man über die Gaußsche Summenfunktion herausfinden.

Dazu berechnet man zunächst die Standardabweichung, also die Wurzel aus (Erwartungswert n*p mal Gegenwahrscheinlichkeit q (also 1-p))

Bei p=0,7 wäre q=0,3.

Bei einer Belegschaft von n=100 Mitarbeitern wäre die Standardabweichung die Wurzel aus (100*0,7*0,3)=4,58.

Wenn also 80 anstatt der erwarteten 70 Radfahrer kämen, wäre das eine Abweichung von 10 Radfahrern nach oben, was in Standardabweichungen

10/4,58=2,18 ergibt.

Die Gaußsche Summenfunktion sagt uns nun (das kann man in entsprechenden Tabellen nachschlagen oder über ein recht kompliziertes Integral selbst berechnen), daß im Bereich von 0 bis Erwartungswert plus 2,18 Standardabweichungen 98,54 % aller Werte liegen.

Wenn eine Belegschaft 100 Mitarbeiter hätte und 70 % von ihnen kämen per Rad, könntest Du mit einer Wahrscheinlichkeit von 98,54 % voraussagen, daß zwischen 0 und 80 Mitarbeiter an einem bestimmten Tag mit dem Rad kommen.

Bis 100 % blieben dann nur noch 1,46 %.

Das wäre die Wahrscheinlichkeit dafür, daß mehr als 80 mit dem Rad kommen, wenn man nicht davon ausgeht, daß es auf keinen Fall mehr als 70 Radfahrer sein können, sondern daß sich auch mal der eine oder andere Autofahrer entscheidet, mal gesundheitsbewußt zu leben.

Wenn wir nun die Angabe mindestens 25 haben und das mit 99 % Wahrscheinlichkeit vorhersagen können, liegt die Wahrscheinlichkeit dafür, daß weniger als 25 Radfahrer kommen, bei 1 %.

Laut Tabelle liegen 1 % aller Werte im Bereich von 0 bis Erwartungswert minus 2,33 Standardabweichungen.

Wir können also folgende Gleichung aufstellen:

n*p-2,33*Wurzel (n*p*q)=25 (eigentlich 24,9999, aber 25 reicht als Grenzwert).

Diese Gleichung kann nach n aufgelöst werden, weil p und q bekannt sind:

n*p-25=2,33*Wurzel (n*p*q)

(n*p-25)²=2,33²*n*p*q

n²*p²-50np+625=2,33²npq

p²n²-50np-2,33²npq+625=0

p²n²+n*(-50p-2,33²pq)+625=0

Das ist eine quadratische Gleichung der Form an²+bn+c=0

mit a=p²=0,49, b=-50p-2,33²pq= -36,14, c=625 mit den beiden Lösungen

n1=47 (aufgerundet) und n2=28 (aufgerundet).

Nur die 47 erfüllt die Gleichung.

Der Betrieb muß also mindestens 47 Mitarbeiter haben, damit man mit einer Wahrscheinlichkeit von 99 % sagen kann, daß bei 70 % Radfahrern mindestens 25 auch mit dem Rad kommen.

Herzliche Grüße,

Willy

Wow danke!

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@Toxkn

Wenn Dich das Integral interessiert:

(1/√(2π))*∫e^(-0,5x²)dx.

Als Untergrenze müßtest Du theoretisch minus unendlich einsetzen, aber -7 reicht, weil das Ding dann schon so nah an der x-Achse ist, daß da kein Blatt Papier mehr zwischen paßt.

Als Obergrenze setzt Du das Vielfache von Standardabweichungen ein, um das der Wert vom Erwartungswert abweichen soll.

Wenn Du dieses Integral mit den Grenzen -7 und -2,33 ausrechnest (versuch erst gar nicht, dazu eine Stammfunktion zu finden, das kannst Du vergessen; wozu gibt es Taschenrechner?) bekommst Du 0,0099, also etwa 1 % heraus.

Du kannst Dich natürlich durch eine etwas höhere Obergrenze noch näher an 1 % herantasten, wenn Dir langweilig ist, aber da Du bei dieser Aufgabe sowieso ordentlich runden mußt - Du kannst ja nur mit ganzen Mitarbeitern rechnen - ist dieser Wert genau genug.

Leider findest Du auch keine handliche Umkehrfunktion, die Dir zu der Prozentzahl die 2,33 ausspuckt. Aber dafür gibt es ja die Tabellen.

Diese Tabellen listen übrigens immer nur Wahrscheinlichkeiten zwischen 0,5 und 1 auf.

Bei 0,4 schlägst Du unter 1-0,4 =0,6 nach und setzt vor den gefundenen Wert ein Minuszeichen.

Die 2,33 findest Du also nicht unter 0,01, sondern unter 0,99.

Einfach ein Minus davor: -2,33 und die Richtung stimmt.

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Bei nochmaliger Überlegung sollte man doch über die Binomialverteilung gehen, weil es sich ja doch um eine diskrete Verteilung und nicht um eine stetige handelt, denn es gibt ja nur ganze Mitarbeiter.

Du müßtest im Rechner die kumulative Binomialverteilung aufrufen und prüfen, für welches n Du für k=24 und p=0,7 Du unter 0,01 rutscht.

Das ist bei n=46 der Fall.

Prüfe es nach:

Die Summe für k=0 bis k=24 über (46 über k)*0,7^k*0,3^(46-k) liegt bei 0,0082, während er für k=45 bereits auf 0,0135 ansteigt, also zu hoch ist.

Das Ergebnis unterscheidet sich zwar nur um 1 gegenüber der Berechnung über die Normalverteilung, ist aber zu bevorzugen, weil es sich ja tatsächlich nicht um eine stetige Verteilung handelt.

Demnach wäre 46 die gesuchte Anzahl der Mitarbeiter.

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@Willy1729

Noch eine Anmerkung: Wenn Du die diskrete Binomialverteilung durch eine stetige wie die Normalverteilung annäherst, mußt Du die Grenzen um jeweils 0,5 nach außen erweitern. Als untere Grenze für die 99 % der Werte für mindestens 25 Radfahrer müßten wir daher nicht 25 oder 24,999 einsetzen, sondern 24,5.

Mit 24,5 statt 25 kommen wir auf n=45,262, die wir nach oben auf 46 runden müssen.

Damit erreichen wir sogar das gleiche Ergebnis wie über die Berechnung der Binomialverteilung.

Manchmal hat es Vorteile, auch eine diskrete Verteilung über eine stetige anzunähern, wenn sich ansonsten so hohe Fakultäten ergeben würden, daß sie der Rechner nicht mehr bewältigen kann oder weil Tabellen für die kumulierte Binomialverteilung nur n=25 und n=50 auflisten, aber keine Zwischenwerte.

Die Binomialverteilung ergibt eine Funktion, die einer Treppe ähnelt: Links geht es Stufen hinauf, rechts hinab, während die Normalverteilung die berühmte Gaußsche Glockenkurve ist.

Wenn Du diese Kurve nun über das stufige Gebilde stülpst, wirst Du merken, daß Du die Grenzen bei der Glocke links und rechts um je 0,5 erweitern mußt, damit sich die Glocke besser den Stufen anpaßt.

Zeichne es Dir auf, dann siehst Du es.

Diese Erweiterung der Grenzen vergesse ich gern mal.

In diesem Fall kommst Du aber mit der kumulierten Binomialverteilung, die ein Rechner ab 20 Euro beherrscht, leicht weiter ohne große Rechnerei.

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Vielen Dank für den Stern.

Willy

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Probiers mal mit der Gegenwahrscheinlichkeit, also binomcdf(x,0.7,24) und dann in der Tabelle schauen, wann der Wert 0,01 erreicht wird.

Hab ich gemacht, aber der Wert bleibt leider immer bei 1 :/

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@Toxkn

Hast Du die Summenfunktion der Binomialverteilung aufgerufen?

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