Wie löst man diese Aufgabe zum Zwillingsparadoxon?

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3 Antworten

Kann mir jemand helfen?

Ja, ich kann. Du musst Dir die Zeit als Richtung vorstellen. Vielleicht hast Du auch schon mal etwas vom MINKOWSKI-Raum gehört. Es funktioniert etwas anders als in unserem gewöhnlichen Raum, aber eine Analogie gebe ich unten.

Leider habe ich momentan kein Bild vorbereitet, das hätte ich zur Klärung noch eingestellt. 

Wie verhält es sich mit der Zeitdilation zwischen den beiden Zwillingen? Von der Erde aus müssten die Zwillinge ja langsamer altern,…

Langsamer als ein gleichaltriger Kollege, der auf der Erde bleibt, mit dem Lorentz-Faktor

γ[1,2] = 1/√{1 − (v[1,2](t)/c)²} = dt[Erde]/dτ[1,2]

mit der jeweiligen Eigenzeit τ[1] bzw. τ[2]. Was in eckigen Klammern steht, versteht sich als Index.

…aber wie altern die Zwillinge "gegenseitig"?

Insgesamt gleich schnell. Entscheidend dafür ist, dass sie bei ihrer Rückkehr gleich lange Wege

τ[1, gesamt] = τ[2, gesamt]

durch die Raumzeit hinter sich haben.

Stelle Dir vor, dass auf einer Piste drei Autofahrer zunächst mit derselben Geschwindigkeit |u›₀ über eine Piste nebeneinander her fahren. Dann ändern die äußeren Fahrer den Kurs in einem Winkel α nach außen, ohne den Betrag u ihrer Geschwindigkeit zu ändern; sie fahren also mit

|u›[1,2, hin]= u·(cos(α); ∓sin(α))

Nach einer gewissen Fahrzeit ändern sie ihre Richtung abermals um den Winkel α nach innen und fahren mit

|u›[1,2, rück]= u·(cos(α); ±sin(α)),

bis sie wieder zusammentreffen. Da sie während ihres Ausflugs relativ zur Vorwärtsrichtung des mittleren Fahrers beide nur mit u·cos(α)<u nach vorn unterwegs waren, sind beide zurückgefallen, aber um dasselbe. Was die Vorwärtsrichtung der jeweiligen Fahrer betrifft, so änderte diese sich zwei mal.

Relativ zur Vorwärtsrichtung jedes Fahrers fallen die anderen zurück. Beim mittleren Fahrer geschieht das gleich schnell und bleibt die ganze Zeit gleich.

Jeder Außenfahrer macht aber eine Kehrwende und hat danach eine neue Vorwärtsrichtung, bezüglich derer die Anderen weiter vorn liegen und er nunmehr seinen "plötzlichen" Rückstand aufholt.

…und eigentlich müsste der Zwilling den anderen Zwilling jeweils altern sehen.

Das ist ein populärer Irrtum. Was in der SRT "Zeitdilatation" genannt wird (eigentlich aber eine Projektion ist), ist das langsamer gehen bewegter Uhren bezüglich der eigenen zeitlichen Vorwärtsrichtung bzw. des eigenen gleichzeitigen Raumes und hat nichts mit dem zu tun, was man sieht.

Jeder Raumfahrer sieht denjenigen langsamer altern, von dem er sich entfernt (bzw. umgekehrt), und denjenigen schneller altern, dem er sich nähert (bzw. umgekehrt). Dies stimmt mit dem Doppler-Effekt überein (Frequenzen verschieben sich entsprechend) und wird mit Hilfe des von Sir Hermann BONDI eingeführten Faktors

K[mit v auseinander] = √{(c + v)(c − v)}
K[mit v zusammen] = √{(c − v)/(c + v)}

beschrieben. Natürlich sieht man dies verzögert. Wenn einer eine Kehrtwende macht, bekommt man das erst nach Δr/c mit, wobei Δr die aktuelle Entfernung ist.

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leitz10 20.01.2017, 21:58

Ich danke vielmals für die ausführliche Antwort. Mein Problem ist folgendes: Wenn sich B von A entfernt, so ist die Lichtgeschwindigkeit bei beiden ja immer konstant. Aber, dass die Lichtgeschwindigkeit konstant sein kann, muss zwingend beim anderen die Zeit langsamer vergehen, denn wenn A ein Lichtsignal in Richtung von B aussendet, während B sich von A wegbewegt, so müsste, wenn die Lichtgeschwindig relativ wäre, B eine langsamere Geschw. des Lichts ausmachen. Wenn B aber die (wirkliche) Lichtgeschwindig ausmachen sollte, so müssts theoretisch A ein "schnelleres" Lichtsignal aussenden. Aber um das auszugleichen,um dieses Beispiel mit einer absoluten Lichtgeschwindigkeit zu vereinbaren, muss die Zeit bei A von B ausgesehen langsamer vergehen, da A ja ein "schnelleres" Lichtsignal aussenden müsste. Und, dass von A (wie auch von B) die Lichtgeschwindigkeit absolut ist, muss für A die Zeit eben zwingend langsamer vergehen. Aber dasselbe gilt ja auch für A wenn er B beobachtet? Kannst du/könnt ihr/ kann irgendjemand mein Problem nachvollziehen? Ich verstehe nicht was eine Bescheinigung an dieser Tatsache ändern soll... Ich zerbreche mir da schon fast 2 Jahre den Kopf darüber.

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SlowPhil 21.01.2017, 10:28
@leitz10

Wenn B aber die (wirkliche) Lichtgeschwindig ausmachen sollte, so müssts theoretisch A ein "schnelleres" Lichtsignal aussenden.

Muss er nicht. Falls A und B jeweils sich selbst als ruhend ansehen, werden sie sich nicht einig, wann B das von A ausgesandte Signal empfängt und wann umgekehrt A das von B empfangene Signal ausgesandt hat.

Räumlich getrennte Ereignisse sind in der SRT nicht entweder gleichzeitig oder eben nicht, sondern ihre Gleichzeitigkeit bzw. ihre zeitliche Reihenfolge hängen vom verwendeten Bezugssystem ab.

Es ist wie bei unseren Autofahrern: Angenommen, Du fährst in irgendeine Richtung geradeaus und ich entferne mich in einem Winkel α von Dir. Ich kann nun eine Linie senkrecht zu mir ziehen, die durch meine Schultern geht und "gleiche Höhe" bedeutet. Du tust dasselbe.

Ich liege hinter der von Dir gedachten gleiche-Höhe-Linie und Du hinter meiner. Wende ich jetzt und komme im selben Winkel näher, bist Du plötzlich vor meiner gleiche-Höhe-Linie, ohne selbst etwas gemacht zu haben.

Der gleichen "Höhe" entspricht in der Relativitätstheorie gleiche Zeit, nur ist die gleiche-Zeit-Linie nicht mit der Zeitachse mitgedreht, sondern wie bei einem Storchenschnabel in die entgegengesetzte Richtung gekippt, sodass die Winkelhalbierende nach wie vor eine Diagonale ist, die "Lichtgeschwindigkeit" bezeichnet.

Dass das, zwischen Zeitachse und gleiche-Zeit-Linie des "bewegten" Systems, ein rechter Winkel sein soll, wo er dies doch augenscheinlich nicht ist, scheint uneinsichtig.

Das liegt aber letztlich daran, dass man MINKOWSKI-Geometrie auf EUKLIDischem Papier darstellt.

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SlowPhil 20.01.2017, 23:09

Natürlich kann ich das Dilemma nachvollziehen.

Es beruht aber auf der Vorstellung von Zeit als einer vom Raum unabhängigen skalaren Größe. Mit der Prämisse funktioniert natürlich das Relativitätsprinzip nicht:

Wenn ich zwei Lineale nebeneinander lege, von denen das erste eine größere Einteilung hat als das zweite, hat dieses notwendig eine kleinere Einteilung als das erste, die Beziehung ist reziprok, gewissermaßen antisymmetrisch.

Genau das ist hier nicht der Fall. Die Situation ähnelt der von schräg (im Winkel α) zueinander liegenden Linealen, die an sich gleicher Länge L sind. Hingegen ist die orthogonale Projektion eines Lineals auf das jeweils andere bzw. der zum anderen Lineal parallele Anteil kürzer als dieses, nämlich

(1.1) L·cos(α)

Daneben gibt es einen zum anderen Lineal senkrechten Anteil

(1.2) L·sin(α),

und die bilden ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse der Länge

(1.3) √{L²cos²(α) + L²sin²(α)} = L.

Dabei freilich ist keine Richtung ausgezeichnet. In der Raumzeit hingegen ist das anders, da ist eine Geschwindigkeit bzw. ein Geschwindigkeitsbetrag c ausgezeichnet, und das führt zu einer etwas eigenwilligen uneigentlichen Metrik der Raumzeit, die seinerzeit von H. MINKOWSKI beschrieben wurde. Hier müssen die trigonometrischen Funktionen durch Hyperbelfunktionen ersetzt werden, und deren Argument ist die Rapidität ς.

Sind zwei Systeme relativ zueinander um ς geneigt, so hat eine Zeitspanne T, projiziert auf die Zeitachse des anderen, die Länge

(2.1) T·cosh(ς) = Tγ,

und mit ihrem räumlichen Abstand

cT·sinh(ς) = Τγv

erhält man die Gesamtlänge

√{T²cosh²(ς) – Τ²sinh²(ς)} = √{T²γ² – Τ²γ²(v/c)²} = T

zurück.

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SlowPhil 21.01.2017, 09:03
@SlowPhil

Sorry, ich meinte

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Sind zwei Systeme relativ zueinander um ς geneigt, so hat eine Zeitspanne T, projiziert auf die Zeitachse des anderen, die Länge

(2.1) T·cosh(ς) = Tγ,

und mit ihrem räumlichen Abstand

(2.2) cT·sinh(ς) = Τγv

erhält man die Gesamtlänge

(2.3) √{T²cosh²(ς) – Τ²sinh²(ς)} = √{T²γ² – Τ²γ²(v/c)²} = T

zurück.

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Hatte die Nummeriungen vergessen, weil ich abgelenkt war.

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solange sich alle gleichfoermig bewegen gilt:

die zwililnge sehen die menschen auf der erde langsamer altern, die menschen auf der erde sehen die zwillinge langsamer altern (und zwar um denselben faktor).

ausserdem sieht auch jeder zwilling den jeweils anderen langsamer altern, und zwar um einen groesseren faktor.

hier gibt es uberhaupt keinen widerspruch, da sich alle drei beobachter die ganze zeit an unterschiedlichen orten aufhalten und gleichzeitigkeit in verschiedenen bezugssystemen fuer ereignisse die an verschiedenen orten stattfinden relativ ist.

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leitz10 20.01.2017, 21:44

Und, wenn die Zwillinge wieder zur Erde zurückkommen, und dabei jeweils denselben Weg zurückgelegt haben, und diesselben Beschleunigen erfahren haben? Somit müssten doch beide Zwillinge gleichberechtigt sein? Wie sieht es hier mit der Zeitdilation aus?

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Reggid 21.01.2017, 01:42
@leitz10

in diesem fall sind die beiden zwillinge weniger gealtert als die erdenbewohner, aber beide exakt gleich.

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Jeder Zwilling sieht den anderen in jeweils seinem Bezugssystem langsamer altern als sich selbst.
Da gibt es keinen Widerspruch.

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leitz10 20.01.2017, 13:43

Aber wenn jeder der beiden den anderen langsamer altern sieht, so ist es doch ein Widerspruch?

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