Wie löst man diese Aufgabe zu Kreisen?

Kreis - (Mathe, Mathematik)

5 Antworten

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Hallo,

nun zum schäbigen Rest. Das ist jetzt wirklich einfach.

Du brauchst zwei Formeln für die Kreisberechnung. Die Fläche berechnet sich nach π*r², der Umfang nach 2*π*r.

r ist gegeben. In Aufgabe a) hat r die Länge von 36 mm.

r²=1296 mm², r²*π ist rund 4071,5 mm²

Das wäre die Fläche eines ganzen Kreises, dessen Zentrumswinkel praktisch 360° hätte. Du sollst die Fläche eines Kreissegmentes berechnen mit dem Zentrumswinkel 30°. 30° ist ein Zwölftel von 360°, also ist die Fläche des Segmentes auch ein Zwölftel von 4071,5 mm², nämlich rund 339,3 mm².

Der Umfang beträgt 2*36*π, rund 226,2 mm, ein Zwölftel wäre 2*3*π, rund 18,85 mm.

Bei Aufgabe b ist r gleich 40 mm, der Zentriwinkel beträgt 135°, also 3/8 von 360°.

Du rechnest also π*40²*(3/8) für die Fläche und 2*40*π*(3/8) für den Umfang,

was rund 1885 mm² für die Fläche und 94,2 mm für den Umfang ergibt.

Herzliche Grüße,

Willy

Ganz herzlichen Dank für den Stern. Willy

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Hallo,

da bin ich wieder.

Die Flächen in dem kleinen Quadrat haben wir bestimmt. Der Rest ist einfach. Nun müssen wir nur noch die dunklen Flächen zwischen dem großen Quadrat und dem Kreis bestimmen, dazu die hellen Flächen zwischen dem Kreis und den Außenseiten des kleinen Quadrates.

Die vier dunklen Flächen sind das, was vom großen Quadrat übrigbleibt, wenn man den Kreis darin ausschneidet. Also müssen wir die Kreisfläche von der Fläche des großen Quadrates abziehen. Das einzige, worüber wir jetzt noch nachdenken müssen, sind der Radius des Kreises und die Seitenlänge des großen Quadrates. An der Zeichnung siehst Du, daß die Seitenlänge des großen Quadrates und der Durchmesser des Kreises übereinstimmen. Der Durchmesser des Kreises ist aber auch die Diagonale des kleinen Quadrates, dessen Seitenlänge a ist. Wenn ein Quadrat die Seitenlänge a hat, läßt sich seine Diagonale nach dem Satz des Pythagoras bestimmen. Die Diagonale teilt das Quadrat in zwei gleiche rechtwinklige und gleichschenklige Dreiecke, wobei jeweils zwei Quadratseiten die Katheten bilden und die Diagonale die gemeinsame Hypotenuse der beiden Dreiecke ist. Das Quadrat über der Hypotenuse in einem rechtwinkligen Dreieck ist gleich der Summe der Quadrate über den Katheten, das heißt: a²+a²=d² (d ist der Durchmesser des Kreises), also ist d=√(2a²).

Das ist gleichzeitig die Seitenlänge des großen Quadrates, das somit die Fläche 2a² besitzt, denn das Quadrat aus einer Wurzel ist das, was unter der Wurzel steht.

Von 2a² müssen wir nun noch die Fläche des Kreises abziehen. Die Kreisfläche berechnet sich nach der Formel πr². r, der Radius des Kreises, ist gleich dem halben Durchmesser, somit (1/2)*√(2a²). Das a² kannst Du unter der Wurzel hervorholen. Dann steht da (a/2)*√2. Das ist r, dann ist r²=(a²/4)*2, also a²/2.

Somit haben die dunklen Flächen zwischen dem großen Quadrat und dem Kreis die Fläche 2a²-(1/2)π*a²=a²*(2-π/2).

2-π/2 hatten wir schon bei der Berechnung der weißen Flächen innerhalb des kleinen Quadrates, das war rund 0,429.

Die dunklen Flächen um den Kreis herum haben also exakt die gleiche Fläche wie die weißen Flächen im kleinen Quadrat.

Bleiben noch die weißen Kreisabschnitten um das kleine Quadrat herum. Hier gibt es eigentlich nichts mehr zu rechnen. Wir wissen, daß das große Quadrat die doppelte Fläche des kleinen Quadrates hat (2a²). Davon ziehen wir das kleine Quadrat ab, bleibt 1a², davon die dunklen Flächen um den Kreis herum: 0,429 a², bleibt für den Rest 0,571 a².

Somit haben wir im kleinen Quadrat 0,571 a² dunkle Flächen und 0,429 a² helle, in dem Teil des großen Quadrates, der sich außerhalb des kleinen befindet, ist es genau umgekehrt: 0,571 a² helle Flächen und 0,429 a² dunkle.

Wenn Du die hellen und dunklen Flächen addierst, bekommst Du für jede genau a² heraus, zusammen also 2a².

Dunkle und helle Flächen in der Figur halten sich also genau die Waage. Wer hätte das gedacht?

Herzliche Grüße,

Willy

Für die andere Aufgabe melde ich mich gleich wieder.

Hallo,

das Schwierigste an der Aufgabe ist das innere Quadrat mit den Blättern.

Aber mit etwas Überlegung ist dies durchaus zu lösen.

Am besten tust Du erst einmal so, als gäbe es in diesem kleinen Quadrat nur die beiden hellen Flächen rechts und links. Oben und unten wären dann zwei dunkle Halbkreise, die sich zu einem ganzen Kreis ergänzen.

Das kleine Quadrat hat die Seitenlänge a. Dann ist der Radius der Halbkreise a/2. Bitte verwechsle diese dunklen Halbkreise nicht mit dem Kreis, der um das Quadrat führt. Zu dem kommst Du später. Noch einmal:

Wir tun so, als seien oben und unten in dem Quadrat zwei dunkle Halbkreise mit dem Radius a/2. Zwei Halbkreise haben die gleiche Fläche wie ein Kreis mit dem gleichen Radius. Die beiden hellen Flächen links und rechts im Quadrat wären dann das, was übrigbleibt, wenn Du von der Quadratfläche, die a² beträgt, die Kreisfläche von (a/2)²*π abziehst: a²-(a/2)²*π.

Die Klammer stört ein wenig - weg damit:

a²-a²*(π/4). Die 4 ist aus 2 zum Quadrat entstanden; da a²/4 und π durch eine Multiplikation verbunden sind, kann ich die 4 auch unter das π setzen anstatt unter das a². (Mach das aber bitte nicht, wenn da kein Mal steht, sondern Plus oder Minus: 2/3+1 ist etwas anderes als 2+1/3.)

Wenn Du jetzt a² ausklammerst, steht da a²*(1-π/4).

Dies wäre die Summe zweier heller Flächen in dem kleinen Quadrat. Nun sind da aber nicht zwei, sondern vier helle Flächen. Du mußt diese Summe also verdoppeln: a²*2*(1-π/4) oder a²*(2-π/2).

2-π/2 aber ist eine Zahl, die man ausrechnen kann. Mit einem Taschenrechner geht das fix: 0,4292036732. Wenn Du die Fläche des kleinen Quadrates a² mit dieser Zahl multiplizierst, hast Du die Gesamtfläche der vier hellen Flächen zwischen den dunklen Blättern im kleinen Quadrat. Da die Fläche dieses Quadrates 1*a² beträgt, bleiben für die dunklen Blätter logischerweise als Fläche a²*(1-0,4292036732), also a²*0,5707963268 übrig. Wie groß die Fläche nun wirklich ist, hängt davon ab, welche Größe und welche Maßeinheit a besitzt. Das wissen wir ja nicht. Wenn Du aber a kennst, stimmen diese Zahlen für alle Quadrate mit Kreisausschnitten, die auf diese Art konstruiert wurden. 

Dies nun gilt für das kleine Quadrat. Es setzt sich aus a²*0,429 Einheiten von hellen Flächen zusammen und aus a²*0,571 Einheiten von dunklen Flächen (ich habe gerundet).

Der Rest kommt später - ich muß noch ein bißchen Geld verdienen.

Bis bald,

Willy

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