Wie löst man diese Aufgabe von Kepler?

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2 Antworten

Bitte, gewöhnt euch an, Einheiten mit dazuzuschreiben! Die Einheit gehört zu einer Größe ebenso wie die Zahl.

Dann würdest du sehen, dass du die 3 * 10^(-19) s^2 / m^3 in der Einheit (Tag^2) / (km^3) bekommst.

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PWolff hat Recht, Du darfst nicht die Zahlenwerte für sich nehmen. Sie erhalten erst durch die Maßeinheiten ihre Bedeutung, und eine andere Maßeinheit bedeutet einen anderen Zahlenwert. Beispielsweise sind 90km/h = 25m/s, weil

1ms = (1/1000)km/(1/3600)h = (3600/1000)km/h = 3,6km/h

ist.

Wenn Du C in den SI-Einheiten haben willst, musst Du die Entfernungs- und Zeitangaben in SI-Einheiten umrechnen:

  • Die große Halbachse der Erdbahn muss also in Metern und nicht in Kilometern angegeben werden, also kommen etwa 150×10⁹m = 1,5×10¹¹m heraus.
  • Die Zeit muss nicht in Tagen (das sind übrigens nicht genau 365, sondern etwas mehr, deshalb gibt es ja Schaltjahre), sondern in Sekunden gemessen werden, und das sind ganz grob √{10}×10⁷s.

Das Quadrat der Zeit ist also etwa 10¹⁵s², und die dritte Potenz von der großen Halbachse ist 3,375×10³³m³ ≈ ⅓×10³⁴m³, und der Quotient ist ganz grob

(1/⅓)×10¹⁵⁻³⁴s²/m³ = 3×10⁻¹⁹s²/m³,

was Deiner Vorgabe von 2,97s²/m³ ziemlich nahe kommt.

Natürlich ist diese Konstante C sonnenspezifisch. 

Für Kreisbahnen r=a kann man sie sich aus der Gleichsetzung der Newton'schen Gravitationsfeldstärke 

(1.1) g = G·M/r²

mit der Zentripetalbeschleunigung

(1.2) a.z = ω²r = (4π²/T²)·r,

was

(2.1) G·M/r² = (4π²/T²)·r    ⇔   T²/r³ = 4π²/G·M = C

ergibt. Dabei ist

M ≈ 2×10³⁰kg                Sonnenmasse

G ≈ ⅔×10⁻¹⁰m³/kg·s²    Gravitationskonstante


⇒ G·M ≈ ⁴/₃×10²⁰m³/s²

Ersetzt man zur Überschlagsrechnung noch π² durch den Näherungswert 10, dann erhält man etwa

(2.2) 40/(⁴/₃×10²⁰m³/s²) = 30×10⁻²⁰s²/m³ = 3×10⁻¹⁹s²/m³,

genau den Wert, den wir oben errechnet haben.

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