wie löse ich eine gleichung mit x^3?

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5 Antworten

Das mit dem Ausklammern (du hast es mit Herausheben bezeichnet) funktioniert nur bei Gleichungen 3. Grades, wenn kein Absolutglied vorhanden ist. Das wäre dieser Typ:

ax³ + bx² + cx = 0
x (ax² + bx +c) = 0

Das ergibt eine Lösung x = 0
und bis zu zwei weitere aus p,q- oder Mitternachtsformel.

Ansonsten kannst du nur hoffen, dass eine der Lösungen ganzzahlig ist. Sie wäre ein Teiler von d  bei
ax³ + bx² + cx + d = 0

Man bildet dann einen Linearfaktor (x - gefundene Lösung) und dividiert die Gleichung durch ihn, wenn man es kann. Das nennt sich Polynomdivision, und wenn ihr es in der Schule noch nicht besprochen habt, bist du noch nicht weit genug dafür.

Höhere Lösungsverfahren sind nicht unkompliziert und werden in der Schule auch noch vorgestellt.

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wenn alle Zahlen innerhalb der Gleichung ein x haben dann kannst du ausklammern, wenn nicht dann brauchst du die Polynomdivision.

Dazu suchst du erst eine Nullstelle mit dem Taschenrechner und teilst dann diese durch die Gleichung... z.B. Nullstelle: 2

also Gleichung durch x-2

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Am besten erklärt man es mit Hilfe von Beispielen :-))

Allgemeine Form -->

y = f(x) = a * x ^ 3 + b * x ^ 2 + c * x + d

Beispiel 1.)

y = f(x) = x ^ 3 - 2 * x ^ 2 - 5 * x

x ^ 3 - 2 * x ^ 2 - 5 * x = 0

Ein x ausklammern -->

x * (x ^ 2 - 2 * x - 5)

Wegen dem Satz vom Nullprodukt befindet sich eine Nullstelle bei x _ 1 = 0

x ^ 2 - 2 * x - 5 = 0

Hierauf die pq-Formel anwenden -->

x ^ 2 + p * x + q = 0

p = -2 und q = -5

x _ 1, 2 = - (p / 2) -/+ √( (p / 2) ^ 2 - q)

Wenn du das auflöst erhältst du -->

x _ 2 = 1 - √(6)

x _ 3 = 1 + √(6)

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Beispiel 2.)

y = f(x) = x ^ 3 - 6 * x ^ 2 + 11 * x - 6

Alle Nullstellen sind mit Hilfe einer Wertetabelle bequem zu finden :-)) !

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Beispiel 3.)

y = f(x) = x ^ 3 - 6.9 * x ^ 2 +14.5736 * x - 8.6736

x ^ 3 - 6.9 * x ^ 2 +14.5736 * x - 8.6736 = 0

Eine Nullstelle kann man bequem per Wertetabelle finden, doch die anderen beiden nicht.

x _ 1 = 1

Nun führt man eine Polynomdivision mit dem Linearfaktor (x - 1) durch -->

(x ^ 3 - 6.9 * x ^ 2 +14.5736 * x - 8.6736) / (x - 1) = x ^ 2 - (59 / 10) * x + (5421 / 625)

https://www.youtube.com/results?search\_query=polynomdivision

x ^ 2 - (59 / 10) * x + (5421 / 625) = 0

Die anderen beiden Nullstellen löst man wieder durch die pq-Formel.

x _ 2 = 2.78

x _ 3 = 3.12

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Beispiel 4.)

y = f(x) = 6 * x ^ 3 - 5 * x ^ 2

Hier lässt sich x ^ 2 ausklammern -->

x ^ 2 * (6 * x - 5) = 0

Wegen dem Satz vom Nullprodukt gilt hier x _ 1 = 0 und x _ 2 = 0

Das sind deshalb 2 Nullstellen, weil x ^ 2 = x * x ist, es handelt sich dabei um eine sogenannte doppelte Nullstelle.

6 * x - 5 = 0

x = 5 / 6

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Beispiel 5..)

y = f(x) = 10 * x ^ 3 - 5 * x ^ 2 + 6 * x - 20

10 * x ^ 3 - 5 * x ^ 2 + 6 * x - 20 = 0

Hier befindet sich ein Faktor vor x ^ 3, der stört !, deshalb teilt man die Gleichung durch diesen Faktor.

x ^ 3 - (1 / 2) * x ^ 2 + (3 / 5) * x - 2 = 0

Hier gibt es nur eine einzige reelle Nullstelle, die außerdem keine ganze Zahl ist.

x _ 1 = 1.26905583278635...

Hier kann man die Nullstelle mit dem Newton-Verfahren finden -->

g(x) = x ^ 3 - (1 / 2) * x ^ 2 + (3 / 5) * x - 2

g´(x) = 3 * x ^ 2 - x + (3 / 5)

x = Startwert

Marke 1:

z = x - g(x) / g´(x)

x = z

Solange sind x und z zu stark von einander entscheiden springe zu Marke 1

Mit dem Startwert von x = 1 erreicht man nach 5 Iterationen den Wert 1.26905583278635

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Beispiel 6.)

y = f(x) = 10 * x ^ 3 - 88 * x ^ 2 +197.7 * x -119.7

10 * x ^ 3 - 88 * x ^ 2 +197.7 * x -119.7 = 0 | : 10

x ^ 3 - 8.8 * x ^ 2 +19.77 * x - 11.97 = 0

Die erste Nullstelle kann man mittels Wertetabelle finden --> x _ 1 = 1

Dann führt man eine Polynomdivision durch -->

(x ^ 3 - 8.8 * x ^ 2 +19.77 * x - 11.97) / (x - 1) = x ^ 2 - (39 / 5) * x + (1197 / 100)

x ^ 2 - (39 / 5) * x + (1197 / 100) = 0

Hier wendet man wieder die pq-Fomel an und erhält -->

x _ 2 = 2.1

x _ 3 = 5.7

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Betrachtest du nur reelle oder auch komplexe Lösungen?

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Kommentar von chamilion
15.11.2015, 15:43

sorry, keine ahnung was das bedeutet. ich schätze mal reelle lösungen.

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bei 3ten grades gibt es denke ich eine recht komplizierte fornel .. aber allgemein verwendet man polynomdivision und führt das auf grad-2 zurück.

bei 3ten grad muss man also eine nullstelle "raten" können

in der schule machen sie es leicht, so dass eine nullstelle meist eine ganze zahl ist -- du fängst also zu probieren an mit

0, 1, -1, 2, -2, 3, -3,  usw.  also  f(x) = 0.

hast du eine nullstelle gefunden, so kannst du die Funktion schreiben als:

(x - Nullstelle) * Rest

den Rest bekommst du durch Polynomdivision:     Rest = f(x) / (x - Nullstelle)

der Rest ist dann eine Quadratische Gleichung die du mit der Mitternachtsformel lösen kannst.

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Kommentar von ThomasAral
15.11.2015, 15:52

Wie viele Nullstellen:

na bei der 2-ten grad hast du ja 0, 1 oder 2 Lösungen die du anhand des wertes unter der wurzel   (b² - 4ac) bestimmen kannst.   Ist b² - 4ac = 0  eine Lösung --- ist es kleiner null keine, sonst zwei.

zusätzlich dazu eben noch die geratene Nullstelle.

vom grad 3 existiert immer mind. eine nullstelle.

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