Wie löse ich eine Gleichung der Form x³+x+a=0?

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6 Antworten

Hallo,

da in dieser Gleichung das quadratische Glied fehlt, könntest Du die Parameter in die reduzierte Form der Cardanischen Formel übertragen.

Näheres findest Du hier:

https://www.lernhelfer.de/schuelerlexikon/mathematik-abitur/artikel/die-cardanische-formel

Ansonsten würde ein Näherungsverfahren wie das Newtonsche helfen, eine Nullstelle zu bestimmen und danach eine Polynomdivision durchzuführen, die auf eine leicht zu lösende quadratische Gleichung führt.

Herzliche Grüße,

Willy

Ach jaa :) Dankeschön!! Ich hab den Graph schon gezeichnet und werd jetzt mal polynomdividieren ;)

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@sahnehaeb

Auch die reduzierte Form der Cardanischen Formel liefert Dir übrigens nur eine Nullstelle; die anderen bestimmst Du wie nach Anwendung des Newton-Verfahrens. 

Deine Nullstelle stimmt übrigens; die beiden anderen sind imaginär.

Willy

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Nullstellen sind Schnittpunkte mit der x-Achse.

Erst mal eine eingermaßen engmaschige Wertetabelle anfertigen, denn manchmal liegen Nullstellen bei ganzen Zahlen, außerdem sieht man in Wertetabellen Vorzeichenwechsel von - nach + oder von + nach -

Vorzeichenwechsel verraten Bereiche in denen Nullstellen liegen.

Das geht auch online -->

http://www.jetzt-rechnen.de/Mathematik/Wertetabellen.html

Alternativ kannst du dir auch eine Funktion von einem Funktionsplotter zeichnen lassen, auch dann siehst du Schnittpunkte mit der x - Achse -->

http://www.mathe-fa.de/de

Wenn du dir eine Näherungslösung für Nullstellen verschafft hast, dann kannst du es auch mit Iterationsverfahren versuchen, zum Beispiel -->

- Newtonverfahren

- Fixpunktiteration

- Euler - Tschebyschow - Verfahren

Findest du alles bei Wikipedia.

Die Polynomdivision kann auch helfen, wenn eine Nullstelle schon exakt genug bekannt ist.

Noch besser wäre ein Graphikrechner.Der schafft dies in 1 - 5 Min und verrechnet sich nie.So ein Ding zahlt sich immer aus.Man braucht das Internet dann nur im Ausnahmefall

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@fjf100

Ja, das stimmt. Ich nehme jedoch am liebsten meinen PC, da gibt es auch jede Menge Programme für oder man schreibt sich seine eigenen wenn man möchte.

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Ich habe die Aufgabe mit meinen Graphikrechner (Casio) gelöst.Solltest dir auch einen zulegen,sonst hast du in der Schule irrsinnige Nachteile !!

nullstellen bei x1= - 0,8177 dann gibt es noch 2 konjugiert komplexe Lösungen siehe dazu die Lösbarkeitsregeln im Mathe-Formelbuch für quadratische Gleichungen.

x2= o,40892 + i 1,87202 und x3=0,40892 - i 1,87202 

Bei der Kubischen Funktion muss man immer eine Nullstelle schätzen und dann diesen "Linearfaktor " abtrennen (Polynomdivision).

Dann erhält man eine quadratische Gleichung.

Den ersten geschätzten Wert kann man durch mehrmalige Wiederholung z.Bsp. die Newtonformel verbessern   

Tangentenverfahren nach Newton

Formel x2=x1 - f(x1)/f´(x1) hier ist x1 der geschätzte Wert ,der nahe an der Nullstelle liegt und x2 ist dann der verbesserte Wert,der dann in die Formel eingesetzt wird,um einen noch besseren Wert zu erhalten.

f´`(x1) ist die 1.te Ableitung der Funktion f(x)

TIPP : Investiere nicht so viel Arbeit in diese Aufgabe,sondern prüfe nur mein Ergebnis in Handarbeit für die Schule.Für die Prüfung kannst du dann solche Aufgaben in Handarbeit lösen.

kein Ingenieur rechnet solche Aufgaben in Handarbeit.sondern verwenden immer einen Graphikrechner.Die verrechnen sich nie und es geht viel schneller.

Taschenrechner sind was aus den 80er Jahren.

Oft nur Näherungsformeln manchmal nicht mal auf 5 Stellen genau. Fast jedes Schulkind hat heute Hochleistungsrechner in der Tasche: (Handy; manche haben sogar 4 Kerne - mehr als einige PC)

Einziges Problem ist: sie können sie nicht bedienen (oder kennen nicht die richtigen LINKs) - oder der Lehrer erlaubt sie nicht.

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@hypergerd

Ich habe den Graphikrechner Casio CFX-9850GC Plus .Ist ca. 15 -20 Jahre alt.Funktionen und Genauigkeit reichen völlig aus.

ich bezahl für 1 GB Datenvolumen bei der Telekom 15 Euro pro Monat.Bei den Internetwahn der Schule,geht es nur um Abzocke,weil jeder Schüler ein Handy (Preis 100 Euro und mehr) und das Datenvolumen bezahlen muss.

Hier kassiert nur die Computerindustrie und die Regierung.Für den Schulbetrieb ist das viel zu teuer.

3 Formelbücher ,Physik.Mathe,Chemie,kosten im Buchladen vielleicht 60 -100 Euro.

Besorgt man sich Lehr-und Übungsbücher im Buchladen,sind diese auf jeden Fall billiger als die ganzen Handys,Computer und Internet.Außerdem spart man Zeit,weil die Sucherei im Internet zu aufwendig ist.

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§1: entweder lautet die Gleichung:

f(x) = 1/3*x³ + x +1 =0 oder

f(b) = 1/3*b³ + b +1=0

Selbst ausgedacht? Kein Lehrer bis zur 11. Klasse fragt nach solch krummen Ergebnissen.

Oder habt Ihr gerade Näherungsverfahren im 1. Studiengang.

Alles 500 Jahre alt. Ab Cardan sind exakte Lösungen bekannt. Nachteil: noch 3 Fallunterscheidungen.

Kennt man sich mit komplexen Zahlen aus, gibt es explizite PQRST-Formeln

siehe http://www.lamprechts.de/gerd/php/gleichung-6-grades.php

(auf der Seite ist auch ein LINK zur Formel)

x1 = (1/2*(sqrt(13)-3))^(1/3)-(2/(sqrt(13)-3))^(1/3) mit sqrt=Wurzel ; ohne x² ist Faktor b also 0 bei Dir

(reichen Dir die 64 Stellen dort, oder brauchst Du mehr ? )

die anderen 2 sind komplex.



exakte PQRST-Formel online berechnen - (Schule, Mathe, Mathematik)

Null setzten und nach b auflösen.
1/3b^3 +b+1=0
B×(1/3b^2+1+1/b)=0
B kannste als x1 nehmen also ist die erste 0
Dann rechnest mit mit 1/3b^2...=0 weiter und kommst auf die restlichen.
Hoffe ich irr mich nicht, schon länger her.

nevermind, wohl verwechselt sorry.

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Klappt leider nicht weil ja noch +1 hinten dranhängt :/ Muss das mit Polynomdivisoion lösen. Aber danke :)

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Ganz einfach. Als Erstes bemühst du mal die cartesische Vorzeichenregel ( CV ) Positive Wurzeln kann es schon mal nicht geben; ein Entartungsfall der CV . Hier wie soll denn eine Summe aus lauter positiven Termen Null werden?
Besonders schick finde ich, dass die CV eine und NUR eine negative Wurzel vorher sagt. Bei einem kubistischen Polynom stellt sich doch ganz typisch die Alternative: Entweder es ist prim, das ===> Minimalpolynom seiner Wurzeln ( was hier leider der Fall ist ) Oder es spaltet einen rationalen Linearfaktor ab; schau mal, was Pappi alles weiß.
https://de.wikipedia.org/wiki/Satz_%C3%BCber_rationale_Nullstellen
Der Satz von der rationalen Nullstelle ( SRN )
Matematik kann sehr fesselnd sein; die Behauptung von Wiki, der Entdecker des SRN sei Gauß, stellt eine dreiste Fälschung dar.

1) Im Vergleich zu anderen matematischen Sachbeiträgen fällt hier die mangelnde Professionalität auf. So springt doch unmittelbar ins Auge, dass du beim SRN stets ===> primitive Form ( PF ) fordern musst. Der begriff " PF " taucht bei Wiki auch nicht einmal auf. Die PF deines Polynoms wäre

f ( x ) = b ³ + 3 b + 3                 ( 1 )

Definition


" Ein Polynom, dessen PF mit der Normalform überein stimmt, heißt normiert. "

" Ein normiertes Polynom kan wenn ÜBERHAUPT rationale, so nur GANZZAHLIGE Wurzeln haben. "

In unserem Fall kämen da nur ( - 3 ) und ( - 1 ) in Frage - Fehlanzeige.

2) Gauß ist doch Kult. Wieso hat euer Lehrer noch nie vom SRN vernommen? Warum hat der euch nichts gesagt? ( Ich weiß; der wollte nur mal prüfen, was ihr alles wisst. )

3) WIE habt ihr damals bewiesen, dass Wurzel ( 2 ) irrational? Als Hausaufgabe wiederholst du jetzt den Beweis über den SRN . DEN beweis wirst du dein Leben lang nicht mehr vergessen.
Im japanischen ===> Zen Buddhismus heißt der Augenblick der Erleuchtung ===> Satori. Und weder Gauß noch seinen Schülern im Geiste sollte diese Idee gekommen sein während der letzten 200 Jahre? Voll abwegig.

4) Die älteste Quelle, welche Wiki vorweisen kann: das ( wahrscheinliche ) Entdeckungsjahr 2006. Was du als Schüler noch nicht wissen kannst: Seriöse Literatur sind alleine ===> Artin und ===> v.d. Waerden ( 1930 ) Keiner von beiden hat je von einem " SRN " gehört . . .

Ich selbst geb mir da weiter keine Mühe; ich spicke einfach bei Wolfram. Eine Möglichkeit; du programmierst das Hornerschema auf dem TR und suchst per fort gesetzter Intervallhalbierung ( " Telefonbuchsuche " )
Weitere Untersuchungen mittels ===> Polynomdivision, ===> Satz von Vieta bzw. der ( von mir entwickelten ) ===> Alfonsinischen Formeln können getrost entfallen; über die CV hatten wir ja bereits die Möglichkeit weiterer reeller Nullstellen ausgeschlossen.

Viel zu kompliziert !! Mit den Graphikrechner löst man dies in 1 Minute und ist immer richtig.Dann einen Linearfaktor abspalten,damit man auf die quadratische Gleichung kommt.Die kann man dann mit der p-q-Formel lösen.

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@fjf100

Der Komplizierte bist DU . Mittels CV wurde doch schon bewiesen, dass es weitere reelle Wurzeln nicht gibt. " Für Was " willst du denn da noch einen Linearfaktor abdpalten?

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