Wie löse ich Differenzialgleichungen mit einem +dy?

3 Antworten

siehe Mathe-Formelbuch,was du privat in jedem Buchladen bekommst.

Kapitel,Differentialgleichungen (Dgl)

inhomogene lineare Dgl 1.Ordnung

y´+P(x)*y=Q(x)

Lösungsformel: y=f(x)=1/u(x)*∫u(x)*Q(x)*dx

mit u(x)=e^(∫p(x)*dx) ist der integrierende Faktor

y´+2*y=2*x

P(x)=2*x⁰

Q(x)=2*x

F(x)=∫2*x⁰*dx=2*∫x⁰*dx=2*x^(0+1)*1/(0+1)=2*x

u(x)=e^(2*x)

f(x)=1/e^(2*x)*∫e^(2*x)*2*x*dx=2/e^(2*x)*∫x*e^(2*x)*dx

partielle Integration ∫u*dv=u*v-∫v*du

u=x abgeleitet u´=du/dx=1 → du=1*dx

dv=e^(2*x) integriert durch Substitution (ersetzen) F(x)=∫f(z)*dz*1/z´

Den Rest schaffst du selber.Ist mir zu viel Rechnerei

2) Möglichkeit:Lösung durch Variation der Konstante,siehe Mathe-Formelbuch

Woher ich das weiß:Studium / Ausbildung – hab Maschinenbau an einer Fachhochschule studiert

Hallo,

der Trick dabei ist, daß Du zuerst y'+2y=0 löst.

dy/dx=-2y

(1/y)*dy=-2dx

ln|y|=-2x.

Nun addierst Du als Integrationskonstante ln|k| und bringst sie nach links:

ln|y|-ln|k|=-2x

ln|y/k|=-2x

Beide Seiten zum Exponenten von e erheben:

y/k=e^(-2x)

y=k*e^(-2x)

Als nächstes folgt die sogenannte Variation der Konstanten. Aus der Konstanten k machst Du die von x abhängige Funktion k(x).

y=k(x)*e^(-2x)

y'=k'(x)*e^(-2x)-2k(x)*e^(-2x)

Dies fügst Du nun in die ursprüngliche Gleichung y'+2y=2x ein:

k'(x)*e^(-2x)-2k(x)*e^(-2x)+2k(x)*e^(-2x)=2x

Die beiden letzten Summanden auf der linken Seite heben sich auf und es bleibt

k'(x)*e^(-2x)=2x

Multiplikation mit e^(2x) auf beiden Seiten ergibt

k'(x)=2x*e^(2x)

Integration auf beiden Seiten (partielle Integration) führt zu
k(x)==x*e^(2x)-0,5e^(2x)=e^(2x)*(x-0,5)

Da y=k(x)*e^(-2x), gilt:

y=e^(-2x)*e^(2x)*(x-0,5)=x-0,5

Herzliche Grüße,

Willy

ich würde mal sagen, der trick mit dem aufspalten von y' in einen bruch dy/dx funktioniert eben nicht bei dieser form von diffgleichung.

zumal das die standardform für lineare diffgleichungen 1. Art hat und es daher sowieso eine Formel für die Lösung gibt...

wenn ich mich nicht irre ist das dann für y'=f(x)y+g(x),y(x0)=y0

y_1=exp(integral(x0,x)dx' f(x'))

y=(y0+integral(x0,x)dx' g(x')/y_1(x'))y_1(x)

mit f(x)=-2, g(x)=2x

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