Wie löse ich diesen Arbeitsauftrag?

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3 Antworten

Das Stichwort ist hier die quadratische Ergänzung. Ich rechne dir Aufgabe 1 vor (Lösung kommt in einem Kommentar) und du versuchst Aufgabe 2 selbst, einverstanden?

Hinweis an andere Antwortende: Bitte Aufgabe 2 nicht vorrechnen, damit die Fragestellerin sie selbst versuchen kann!

Okay, danke. Ist vielleicht auch besser so. Kommt die hier hin, die Lösung? :)

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Hier also die Lösung von Aufgabe 1. Schau dir den Ausdruck

x^2 - x + 2

an. Er sieht so ähnlich aus wie die linke Seite der zweiten binomischen Formel:

a^2 - 2ab + b^2 = (a-b)^2

Das wollen wir dafür nutzen, um auch unseren Ausdruck zu schreiben in der Form (a-b)^2. Dafür müssen wir aber herausfinden, was a und b sein sollen.

Lass uns die einzelnen Terme miteinander vergleichen:

x^2 entspricht a^2. Also identifizieren wir a=x. Fehlt nur noch b.

x entspricht 2ab. Aber wir wissen ja, a=x. Also: x entspricht 2bx. Damit das passt, muss b=1/2 sein.

Nun haben wir also a und b. Aber der letzte Term, der b^2 entsprechen sollte, passt nicht. Also machen wir einen Trick:

x^2 - x + 2 = x^2 - x +(1/2)^2 - (1/2)^2 + 2

Wir haben also künstlich b^2 = (1/2)^2 addiert und wieder abgezogen. Das erlaubt uns die ersten drei Terme mit der zweiten binomischen Formel umzuschreiben:

x^2 - x + 2 = x^2 - x +(1/2)^2 - (1/2)^2 + 2 = (x-1/2)^2 - (1/2)^2 + 2 = (x-1/2)^2+1,75

wobei wir im letzten Schritt die Konstanten hinten miteinander verrechnet haben.

Das ist die Scheitelform von f(x):

f(x)=(x-1/2)^2 + 1,75

Frage bitte nochmal nach, wenn dir einer der Schritte unklar ist!

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@PhotonX

Danke für deine ausführliche Antwort. Sie hat mir sehr weitergeholfen, aber wie soll ich dieses Prinzip jetzt auf die andere Aufgabe anwenden? Dort ist die Form ja nicht die einer binomischen Formel? Und ja klar, die zweite Aufgabe versuche ich selbstverständlich alleine, ich will es ja auch lernen. :)

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@canadianwoods

Dich stört wahrscheinlich der Vorfaktor im quadratischen Term, oder? Du kannst ihn ausklammern und dann innerhalb der Klammern arbeiten.

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Tut mir leid. Da ich weiß, dass sich immer alle auf die 1. Aufgabe stürzen, wenn mehrere da sind, habe ich die zweite als Beispiel genommen. Es stand ja noch nichts hier, als ich angefangen habe.

Aber vielleicht ist der FS ja sportlich und versucht es erst einmal selber.

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@Volens

Aber vielleicht ist der FS ja sportlich und versucht es erst einmal selber.

Ich denke schon! :)

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Ich erlaube mir, das, was @PhotonX völlig korrekt ausgeführt hat, etwas anders zu formulieren:

Du hast die Parabel x²-x+2, diese sollst du darstellen in der Form (x-u)²+v.

Du musst also "nur" das u und das v aus der 2. Form (Scheitelpunktform) herausfinden, so dass diese äquivalent zur gegeben Normalform ist.

es soll also gelten:
x²-x+2 = (x-u)²+v   // ausquadrieren der Klammer
x²-x+2 = x²-2ux+u²+v // Vergleich der Koeffizienten bei den x-Potenzen
x² = x² -> das passt (muss passen)
-x = -2ux -> u=1/2
+2 = +u²+v = (1/2)²+v = 1/4 +v -> v= 2-1/4 = 1,75

Damit hast du das Ergebnis:

x²-x+2 = (x-u)²+v = (x-1/2)²+1,75

Um die Schnittpunkte zu erzielen, setzt du einfach gleich:

 x² - x + 2 = 0,5x² + 2x - 1

Dann schaffst du alles nach links, sodass Null übrigbleibt und hast schon wieder eine quadratische Gleichung zum Lösen.
Anders als beim Nullstellenberechnen musst du aber aus einer Funktion auch die y-Werte berechnen.

Scheitelpunktberechnung
Ich nehme mal die zweite Funktion:

f(x) = 0,5x² + 2x - 1    | für die quadratische Ergänzung muss alles weg vor x²

f(x) = 0,5 (x² + 4x +       ) -      -1  | halbieren, quadrieren

http://dieter-online.de.tl/Quadratische-Erg.ae.nzung--k1-Technik-k2-.htm

f(x) = 0,5 (x² + 4x + 2²) - 2 - 1      | Binom erstellen     
f(x) = 0,5 (x + 2)² - 3       

das ist die Scheitelpunktform mit Scheitelpunkt  S(-2|-3)

Wenn es was zu fragen gibt, frag in einem Kommentar.


Danke für deine ausführliche Beantwortung auf die Frage. Du hast mir sehr weitergeholfen. :)

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@canadianwoods

Das ist schön. Denn bei der zweiten Aufgabe gibt es ja die Spezialität, dass man erst 0,5 ausklammern muss, um quadratisch ergänzen zu können, aber dann hinter der Klammer auch den eingefügten Term mit 0,5 multiplizieren muss, damit alles stimmt. Aber gut, wenn du das wusstest, dann brauchtest du auch nicht zu fragen.

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