Wie löse ich diese Wurzelgleichung?

Wurzelgleichung - (Mathematik, Wurzelgleichung)

5 Antworten

√(8x - 31) - √(4x + 9) - 4 = 0 |+√(4x + 9) + 4
√(8x - 31) = √(4x + 9) + 4 |² (Binomische Formel beachten!)
8x - 31 = 4x + 9 + 2 • 4 • √(4x + 9) + 16 |-4x - 25
4x - 56 = 8√(4x + 9) |:8
0,5x - 7 = √(4x + 9) |²
0,25x² - 7x + 49 = 4x + 9 |-4x - 9
0,25x² - 11x + 40 = 0

Diese Gleichung lässt sich mit der quadratischen Ergänzung, der abc-Formel, ... lösen:

0,25x² - 11x + 40 = 0 |• 4
x² - 44x + 160 = 0 |-160 + 22²
x² - 44x + 22² = 324 |Binomische Formel
(x - 22)² = 324 |√
x + 22 = ±18 |+22
x = 22 ± 18
x₁ = 40 ∨ x₂ = 4

Probe:
√(8 • 4 - 31) - √(4 • 4 + 9) - 4 = 0
√(1) - √(25) - 4 = 0
-8 = 0

√(8 • 40 - 31) - √(4 • 40 + 9) - 4 = 0
√(289) - √(169) - 4 = 0
17 - 13 - 4 = 0
0 = 0

Also passt nur 40.

√(8x-31) - √(4x+9) = 4 | quadrieren

(8x – 31) – 2 • √((8x-31) • (4x+9)) + 4x + 9 = 16

-2 • √((8x-31) • (4x+9)) = 16 – 8x + 31 -4x – 9

√((8x-31) • (4x+9)) = -19 + 6x | ausmultiplizieren und quadrieren

32x² +72x -124x -31*9 = 19² - 12*19x + 36x²

x² - 44x + 160 = 0 | pq-Formel

x = 22 ± 18

x1 = 40

x2 = 4

Na schön - aber damit ist die Arbeit noch nicht getan, denn:

Nur die eine Lösung  (x=40)  erfüllt die anfänglich gegebene Gleichung tatsächlich !  Genau deshalb auch das doppelte Ausrufzeichen bei Punkt (7.)  meiner Lösungsanleitung ...

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@rumar

Warum soll nur die positiven Ergebnisse der Wurzeln gültig sein?

√(8x-31) - √(4x+9) = 4 | für x=4
(-1) - (-5) = 4

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@Geograph

Definition:

Die Quadratwurzel  einer nichtnegativen Zahl  a  ist jene (eindeutig bestimmte) nichtnegative Zahl, deren Quadrat gleich der gegebenen Zahl  a  ist. 

Diese Definition wird bestimmt auch in dem Schulbuch zugrunde gelegt, aus welchem die vorliegende Aufgabe stammt.

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@Geograph

Noch ein Gedanke dazu:

Du fragst: "Warum soll nur das positive Ergebnis der Wurzel gültig sein?"

Vielleicht steckt da noch eine Unsitte dahinter, deren schädliche Wirkung kaum erkannt wird. Ein Beispiel dazu:

Gleichung :    x^2 = 4

Lösung:         x = √(4) =  ± 2        (falsch !!)

oder aber:   Lösung:    x = ±√(4) = ± 2    (richtig, mit Vorbehalt)

Sinnvoll wäre es, die vermeintlich Zeit (oder "Hirnschmalz" oder was auch immer) sparende Abkürzung mit dem Zeichen  " ± "  zu vermeiden und klar hinzuschreiben, was Sache ist, nämlich etwa so:

Gleichung:   x^2 = 4

Lösung:    x = √(4) = 2   v    x = - √(4) =  -2

Lösungsmenge:    L = { x1 , x2 } = { 2 , -2 } 


  

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1.) Definitionsbereich feststellen

2.) √(8x-31) auf linker Seite lassen, Rest nach rechts

3.) beidseitig quadrieren, zusammenfassen

4.) Verbleibende Wurzel wieder auf einer Seite isolieren

5.) Quadrieren, zusammenfassen

6.) Quadratische Gleichung lösen

7.) Lösungskandidatenen unbedingt durch Einsetzen in die Originalgleichung prüfen !!

Insoweit richtig, bloß wäre es nicht sinnvoller, die 4 zu isolieren, um so auf die beiden Wurzeln die Binomische Formel anwenden zu können?

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@UnitatoIsLife

Du kannst beides ausprobieren und den Aufwand vergleichen !

Mir war meine Reihenfolge lieber.

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@rumar

Ich habe eine Frage zu Deinen Kommentar zu meinem Lösungsvorschlag

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