Wie löse ich diese Rekursion, so dass ich alle Folgen finde?

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2 Antworten

diese folge hängt von den vorherigen folgenglieder ab.. 2 stück.

die folge hängt also von der definition der ersten beiden folgenglieder ab. x0 und x1 (oder x1 und x2 falls bei der 1 das zählen begonnen wird)

sei x0 = a; x1 = b;

=>

x2 = 3b -2a -1

x3 = 3(3b-2a-1) - 2b -1 = 7b - 6a -4

x4 = 3(7b-6a-4) - 2(3b-2a-1) -1 = 15b -14a -11

wenn ich mich nicht verrechnet hat geht das so... und nun ist es an dir die regelmäßigkeit dahinter herauszufinden!

wenn dies gelungen ist, so erhälst du einen term, der von a und b abhängt. du kannst also eine art "basis" des "raums" aufstellen (ich nenne die begriffe in " " weil ich nicht weiß ob dies tatsächlich unterräum des raumes aller folgen ist)

und somit kannst du natürlich alle folgen aus der basis konstruieren.

hoppla, etz hab ich das xn-1 doppelt gedeutet. einmal als x index (n-1) und einmal als x index (n) - 1

ich machs nochmal moment ^^

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@isbowhten

ja das stimtme schon so, nur der konstante teil war fehl am platz.

die regelmäßigkeit ist dann folgendermaßen:

x index n = (2^n - 1) * b - (2^n - 2) * a

das ist eine andere schreibweise für die rekursive formel und hängt von a und b ab.

für b=7 und a=3 erhält man zB:

x0=3

x1=7

x2=(21-6)=15

x3=(49-18)=31 etc.. und das genügt der obigen rekursiven formel.

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@isbowhten

Vielen Dank für die Antwort! Man kann doch das ganze auch mit folgendem Ansatz machen: x index n = λ^n oder? So habe ich das nämlich in Erinnerung, jedenfalls müsste man mit diesem Ansatz auf die allgemeine Lösung kommen.

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@HANSHANS246

das könnte sein, aber weiß ich nicht. das "hoch n" stimmt ja auf jedenfall

es kann schon sein, dass man a und b irgendwie zu einem lambda zusammenfassen kann.

wenn man meins umformt, dann erhält man (b-a) * 2^n -b +2a jetzt kann man (b-a) * 2^n umformen in n-te wurzel von (b-a)^n * 2^n.

dann erhält man ein lambda, welches den wert 2*(b-a)^(1/n) hat. da b und a beliebig sind und die funktion (...)^(1/n) stetig ist, sollte man dadurch jede reelle zahl erhalten können.

so könnte man das austauschen: x index n = lambda^n -1/2lambda^n + a (das bleibt aber übrig, kA wie man das noch wegbekommt)

also ich bin mir nicht sicher, ob so eine darstellung existiert wie du es fragst, aber könnte schon irgendwie funktionieren.

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ein satz mit x

Also ich weiß zwar nicht, was das mit Fibonacci, Differenzengleichung oder charakteristische Gleichung zu tun haben soll, aber im Prinzip steht da:

xn+1 = xn-1

Das heißt, bei 0 angefangen zu zählen erhältst du die Folgeglieder an = -(n+1)

Leider habe ich die Frage auch nicht 100%ig verstanden, aber vielleicht habe ich mit meiner Antwort ja Glück :D

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