Wie löse ich diese Matheaufgabe brauche Hilfe ?

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3 Antworten

Das Schlagwort lautet exponentielles Modell.

Das sieht so aus -->

N(t) = N(0) * (1 + p / 100) ^ t

Du kennt N(3) = 45 und N(8) = 135

Nun kannst du ein Gleichungssystem aufstellen.


Zuerst einmal substituiert du -->

q = (1 + p / 100)

und erhältst N(t) = N(0) * q ^ t

I.) N(0) * q ^ 3 = 45

II.) N(0) * q ^ 8 = 135

Die Gleichung I.) löst du nach q auf -->

I.) q = (45 / N(0)) ^ (1 / 3)

Dafür kannst du auch schreiben -->

I.) q = 45 ^ (1 / 3) / N(0) ^ (1 / 3)

Nun setzt du q aus I.) in II.) ein -->

II.) N(0) * (45 ^ (1 / 3) / N(0) ^ (1 / 3)) ^ 8 = 135

II.) N(0) * (45 ^ (8 / 3) / N(0) ^ (8 / 3)) = 135

Dafür kannst du auch schreiben -->

II.) N(0) ^ (3 / 3) * (45 ^ (8 / 3) / N(0) ^ (8 / 3)) = 135

II.) (45 ^ (8 / 3) / N(0) ^ (- 5 / 3)) = 135

II.) N(0) ^ (- 5 / 3)) = 135 / (45 ^ (8 / 3))

II.) 1 / (N(0) ^ (5 / 3)) = 135 / (45 ^ (8 / 3))

II.) N(0) ^ (5 / 3) = (45 ^ (8 / 3)) / 135

Nun mit 3 Potenzieren und danach die 5-te Wurzel ziehen -->

II.) N(0) = ((45 ^ 8) / 135 ^ 3) ^ (1 / 5)

II.) N(0) = 23.27768360873

Nun setzt du das in die Gleichung für q ein (siehe oben) -->

q = (45 / N(0)) ^ (1 / 3)

q = (45 / 23.27768360873) ^ (1 / 3)

q = 1.2457309396155243

Mit q = (1 + p / 100) kannst du nun auch p ausrechnen -->

1.2457309396155243 = (1 + p / 100)

p = 24.57309396155243

Also ist deine Formel -->

N(t) =  23.27768360873 * (1 + 24.57309396155243 / 100) ^ t

dafür kannst du auch schreiben -->

N(t) =  23.27768360873 * (1.2457309396155243 ^ t)

Der Wachstumsfaktor der Fliegenpopulation beträgt also zirka 24,57 %

Nun willst du wissen wie viele Fliegen es in 3 Wochen sind, 3 Wochen sind 21 Tage, die 21 setzt du in deine Formel ein -->

N(t) =  23.27768360873 * (1.2457309396155243 ^ 21)

N(t) = 2348.816184592

Also sind nach 21 Tagen 2348 Fliegen da, bzw. 2349 Fliegen, wenn man das Ergebnis rundet ;-))


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Kommentar von precursor
20.02.2017, 00:38

Siehe auch die zweite Antwort, die ich geschrieben habe.

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Ich schreibe nochmal eine Antwort zur Ergänzung.

Wenn du es kompakt haben willst, dann nehme diese Formeln -->

N(0) = ((y _ 1 ^ x _ 2) / (y _ 2 ^ x _ 1)) ^ (1 / (x _ 2 - x _ 1))

q = (y _ 1 / N(0)) ^ (1 / x _ 1)

N(t) = N(0) * q ^ t

Wachstumsfaktor p = (q - 1) * 100

---------------------------------------------------------------------------------------------------

Auf dein Beispiel angewendet bedeutet das -->

x _ 1 = 3

y _ 1 = 45

x _ 2 = 8

y _ 2 = 135

N(0) = ((y _ 1 ^ x _ 2) / (y _ 2 ^ x _ 1)) ^ (1 / (x _ 2 - x _ 1))

N(0) = (45 ^ 8) / (135 ^ 3) ^ (1 / (8 - 3))

N(0) = 23.27768360873

q = (y _ 1 / N(0)) ^ (1 / x _ 1)

q = (45 / 23.27768360873) ^ ( 1 / 3)

q = 1.2457309396155243

N(t) = N(0) * q ^ t

N(t) = 23.27768360873 * 1.2457309396155243 ^ t

Wachstumsfaktor p = (q - 1) * 100

p = (1.2457309396155243 - 1) * 100 = 24,57309396155243 %

So ist die Rechnung viel kompakter, allerdings musst du, wenn du es herleiten musst die lange und komplizierte Rechnung anwenden, und das sogar verallgemeinernd mit Parametern anstelle von Zahlen.

Die Formeln von oben kannst du für jedes Problem exakt dieser Bauart verwenden, also auch mit anderen Zahlenwerten.

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Kommentar von precursor
20.02.2017, 00:42

Korrektur -->

N(0) = ((45 ^ 8) / (135 ^ 3)) ^ (1 / (8 - 3))

Da musste natürlich ein zweites paar Klammern hin ;-))

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Unglaublich wie viele falsche Antworten sich hier tummeln...

Also, rechnen wir das Ganze mal im Dreisatz aus.

45 : 3 = 15

Logische Schlussfolgerung: 15 x 21 = 315 = Ergebnis

Aaaaaaber, wir sehen dort noch Tag 8 und wenn wir 8 x 15 rechnen, kommen wir auf das Ergebnis von  120. In der Aufgabe stehen aber 135. Also ist die Antwort 315 FALSCH.

Wir haben dort noch 15 übrige Fliegen, die kommen auch von irgendwo, sind also in der Zeit von 3 Tagen und 8 Tagen entstanden. 

Rechnen wir also mal 135 : 8, so kommen wir auf 16.875.

Dann da es ja bei Tag 8 mehr Fliegen als bei Tag 3 gibt 16.875 - 15 = 1.875. So viele Fliegen gibt es pro Tag mehr. 

Nehmen wir also noch einmal die 15 von Oben, Rechnen die nocheinmal durch 21 haben wir ja bekanntlich 315. Dann rechnen wir noch 1.875 x 21 = 39.375. Das plus die 315 = 354.375

Geht man also nach meiner Variante aus, dass jeden Tag gleich viele Fliegen kommen, ist die Lösung 354.375 :)

Ich hoffe mal ich habe nichts falsch gemacht, hab solches Zeugs seit Jahren nicht mehr gemacht^^

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