Wie löse ich diese Gleichung (Logarithmus etc)?

...komplette Frage anzeigen 2 mal 4^x minus 4 ^2-x minus 14 = 0 - (Mathe, Mathematik, Logarithmus)

4 Antworten

2 * 4 ^ x - 4 ^ (2 - x) - 14 = 0

Dafür kannst du auch schreiben -->

2 * 4 ^ x - 4 ^ 2 / (4 ^ x) - 14 = 0

2 * 4 ^ x - 16 / (4 ^ x) - 14 = 0

Nun kannst du diese Gleichung mit 4 ^ x multiplizieren -->

2 * 4 ^ (2 * x) - 14 * 4 ^ x - 16 = 0

Nun kannst du substituieren -->

z = 4 ^ x

2 * z ^ 2 - 14 * z - 16 = 0 | : 2

z ^ 2 - 7 * z - 8 = 0

Das löst du mit der pq-Formel (Google !)

z _ 1 = - 1

z _ 2 = 8

Nun folgt die Rücksubstitution, da z = 4 ^ x ist, deshalb ist x = ln(z) / ln(4)

Die Rücksubstitution muss man sowohl mit z _ 1 als auch mit z _ 2 machen.

x _ 1 = ln(-1) / ln(4)

x _ 2 = ln(8) / ln(4) = 1.5

x _ 1 ist ein Ergebnis in den komplexen Zahlen, nur x _ 2 ist ein Ergebnis in den reellen Zahlen !

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Wir bemerken, dass 4^(2-x) = 16/(4^x), also haben wir:

2 * 4^x - 16/(4^x) - 14 = 0.

Wir substituieren u = 4^x und haben:

2 u - 16/u - 14 = 0

2 u² - 14 u - 16 = 0

Jetzt haben wir ein Polynom, dieses lösen wir ganz normal. Die Lösungen sind u = -1 und u = 8.

Da für reell x 4^x immer positiv ist, können wir x = -1 ignorieren, und bekommen die Gleichung u = 8 bzw. 4^x = 8, wir bekommen:

x = 3/2.

LG

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Kommentar von sveaneymarlove
13.03.2016, 23:10

Wie kommst du von 2 u - 16/u - 14 = 0 auf
2 u² - 14 u - 16 = 0

0

0 = 2*4^x - 4^(2-x) - 14
Jetzt substituieren wir einfach die 4x und nennen diese z.
Dann ist 0 = 2z - 16/z - 14 | *z (Denn 4^(2-x) = 4²*4^(-x) = 16/4^x)
       <=> 0 = 2z² - 14z - 16
Gleichung normieren und du hast 0 = z² - 7z - 8
Mit der p-q-Formel erhältst du 
z1 = (-1)
z2 = 8

Jetzt müssen wir noch wieder resubstituieren, da wir wissen wollen, was unser x ist.
z1 = 4^x => ln(-1)/ln(4) = x1 aber da ln(-1) nicht definiert ist, gibt es keine Lösung für x1.
z2 = 4^x => ln(8) /ln(4) = x2 = 1,5

Somit ist x = 1,5

Ich hoffe ich konnte dir helfen! :)

JTR

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mal 4^x

→ 2•4^2x -4² -14•4^x = 0   substitution 4^x = u

2u² - 14u - 16 =0 durch 2 teilen

u²- 7u - 8 = 0  pq-Formel

u1= 8

u2 = -1

resubsti

4^x = 8  → x= lg 8 / lg 4

also x=1,5

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