Wie löse ich diese Gleichung - mit cos und sin?

... komplette Frage anzeigen

1 Antwort

Bei trigonometrischen Funktionen gibt es viele Möglichkeiten, sie ineinander umzuwandeln und Summen in Produkte und umgekehrt umzuformen. Da hilft manchmal nur Ausprobieren, welches Verfahren zum Ziel führt. (Erfahrung hilft viel, aber reicht nicht für alles aus.)

In diesem Fall steht der Sinus unter der Wurzel, der Kosinus aber nicht, damit ist es höchstwahrscheinlich am einfachsten, den Sinus stehenzulassen und den Kosinus durch den Sinus auszudrücken.

In diesem Fall verwendet man den Satz des Pythagoras in trigonometrischer Form:

sin(α)^2 + cos(α)^2 = 1

Daraus folgt:

cos(α) = √(1 - sin(α)^2)

Es gibt Tabellen, wo man ablesen kann, wie man die trigonometrischen
Funktionen durch die anderen trigonometrischen Funktionen ausdrückt. Dort findet man diese Umrechnungsformel ebenfalls.

Dann Substitution: x = sin(α)

Es folgt ein wenig Fleißarbeit: immer wieder eine Wurzel auf eine Seite bringen und die Gleichung quadrieren, bis keine Wurzel mehr übrig ist.

Die entstehende Gleichung nach x auflösen.

Die Probe machen - das Quadrieren ist nicht ohne weiteres umkehrbar, es können also Pseudo-Lösungen hinzugekommen sein.

Rücksubstitution: α = arcsin(x)

(arcsin steht für Arcus Sinus - die Umkehrfunktion der Sinusfunktion)

Hierbei beachten, dass der Arcussinus streng genommen keine Funktion ist - es gibt also im allgemeinen zu einem x mehrere α, für die sin(α) = x ist.

Antwort bewerten Vielen Dank für Deine Bewertung

Was möchtest Du wissen?