Wie löse ich diese Extremwertaufgabe?

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2 Antworten

Extremwertaufgaben löst du über die 1. und 2. Ableitung.

U(t) =  k(e ^ (-t))(1 - e ^ (-t))

U(t)' = 0,5e^(-2t) * (1-2e^t)

U(t)'' = e^(-t) - 1/4 * e^(-2t)

Dann setzt du U(t)' = 0 und kriegst erstmal die Positionen und wenn du das t dann in U(t)'' einsetzt, dann kriegst du eine Zahl < 0 für den Maximalwert (Hochpunkt).
Für dieses T ist dann die Spannung am höchsten.

Wenn du es allerdings grafisch lösen willst, dann ersetzt du in Gedanken t durch x und U(t) durch y und kannst das in ein Koordinatensystem skizzieren.

Ich würde empfehlen, du gibst die Gleichung in wolframalpha.com ein und zeichnest die Grafik ab.

Dann kannst du am Koorinatensystem sehen, wo der Hochpunkt ist und dafür die Zeit relativ genau ablesen.

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Kommentar von Paulschumann99
22.11.2016, 16:13

Und warum kommt bei der 1. Ableitung dort eine 0,5 hin?

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f(x) = k(e^-x)(1-e^-x)

Weil k eine Konstante ist, kann diese vernachlässigt werden ( k != 0).

f(x) = (e^-x)(1-e^-x)
f(x) = e^-x - e^-2x

f'(x) = - * e^-x + 2 * e^-2x

Es muss also gelten

2 * e^-2x = e^-x

ln ( 2 * e^-2x ) = ln ( e^-x )
ln ( 2 ) + ln ( e^-2x ) = ln ( e^-x )
ln ( 2 ) + -2x = -x
ln ( 2 ) = x

Um zu zeigen, dass es sich um ein Maximum handelt, müsste man noch die Umgebung von ln(2) betrachten oder die 2. Ableitung.

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Kommentar von Paulschumann99
22.11.2016, 16:28

Aber k ist doch ein konstanter Faktor und kein Summand, also bleibt k doch erhalten oder?

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