Wie löse ich diese Exponentialgleichung 1/x = e^x nach x auf?

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2 Antworten

Alle guten Rechner
( http://www.lamprechts.de/gerd/php/RechnerMitUmkehrfunktion.php )
kennen die Umkehrfunktion zu x*e^x : LambertW(x)

Unter http://www.lamprechts.de/gerd/LambertW-Beispiele.html
ist das §C oder universeller Beispiel §6 mit a=1, p=0, h=1, b=1
x=h/a * LambertW(n, a/h * (-1)^(2*N/h) * (b/e^p)^(1/h)) mit n=-2,-1,0,1;
x=LambertW(n, 1)

 n |  LambertW(n, 1)

-2 |-2.4015851048680028841741..-10.77629951611507089.. i
-1 |-1.5339133197935745079197..-4.375185153061898385.. i
0 |0.56714329040978387299996866...
1 |-1.5339133197935745079197..+4.375185153061898385..i
2 |-2.4015851048680028841741..+10.77629951611507089.. i

Probe dieser 5 Lösungen x1...x5 in x*e^x eingesetzt ergibt jedesmal die 1.
Auch wenn LambertW(n,x) in der Schule nicht behandelt wird,
ist es ganau so ein Iterationsalgorithmus wie bei Wurzel(x)=sqrt(x). Der Mensch allein bestimmt, wann (bei welcher Genauigkeit) abgebrochen wird.

Für Schüler, die keine komplexe Zahlen kennen, bleibt nur 1 reelle Lösung über.

Wie im Bild zu sehen wurden schon über 20000 Stellen dieses häufig
vorkommenden Wertes berechnet.

Zu "wenn ich nicht habe".
Aber Du hast doch bestimmt ein Handy mit Internet, wo man den 1. LINK (oder WolframAlpha.com) anklicken kann...
Man kann LambertW auch zeichnen (plotten), selbst wenn man die Funktion nicht kennt:
http://www.gerdlamprecht.de/Liniendiagramm_Scientific_plotter.htm
zeigt das im Beispiel 63 mit Hilfe der Iterationsfunktion.

LambertW(x,y) per Umkehrfunktionen Rechner - (Mathe, Mathematik)

Forme ein bisschen um:

1/x = e^x          | *x

1 = x*e^x

Jetzt benötigst du die lambertsche W-Funktion, auch Produktlogarithmus genannt, das ist nämlich die Umkehrfunktion zu xe^x:

1 = x*e^x

x = W(1) ≈ 0,5671

LG Willibergi

Und wenn es meiner nicht kann und ich nen anderen Wert (W(2)) habe?


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@GeoGamerLP

So blöd das klingt, aber dann hast du Pech gehabt. Du kannst einen solchen Wert natürlich auch mit einem Näherungsverfahren approximieren.

LG Willibergi

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