Wie löse ich diese Differenzialgleichung?

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3 Antworten

In der schule jetzt? ist ja bannich kompliziert deine schule - ich hab sowas erst im studium gelernt - das Fadenpendel übrigens kannste garnicht vernünftig ausrechnen da stimmt schon die DGL nur in sogenannter erster Näherung ( ich formliers mal so: stell dir eine Krumme Linie vor und leg ne Gerade ganz nah an eine der Kurven und behaupte dann, dass das der Kurve schon seehr ähnlich sieht) - dann schon eher ein Federpendel - naja schwadronier beiseite- So richtig lösen kannst du die nicht mit schulwissen - ausser du weißt was eine Potenzreihe ist und eine Fundamentallösung (* seufz *) Naja du kannst aber zumindest bei DIESER DGL durch "scharfes Hinsehen" einige Lösungen angeben (sogar alle...) Versuchen wir mal die Formel zum sprechen zu bringen - dann steht da:

Wenn du mich zweimal ableitest dann steh ich immernoch da - ich hab nur ein bisschen zugenommen und hab ein Minus vor mir.

Überleg mal - Polynome (kennst du ja bestimmt schon) verändern Immer ihr aussehen ausser sie sind schon 0 - dann stimmt die DGL von oben nämlich auch - schon hast du die erste Lösung.

Aber alle anderen Graphen die du vmtl kennst machen so schöne sachen nicht - außer vielleicht Sinus oder cosinus. Die können sowas- übrigens alle beide. Jetzt hast du also die zwei Fundamentallösungen dieser DGL herausgefunden (überlege dir selbst, wie die Vorfaktoren im Cosinus bzw. Sinus aussehen müssen (cos(?x) sin(?x)) damit die dgl erfüllt ist. Es handelt sich um eine lineare DGL das heißt dass diese beiden Lösungen mit beliebigen vielfachen versehen und zusammenaddiert auch Lösungen der DGL sind - das ist in dem Falls als acos(?x)+bsin(?x) . Wenn du's nicht glaubst - einfach in die DGL einsetzen und ausrechen.

Aber wie gesagt - das Lösen von Differentialgleichungen ist ne eigene Forschungsrichtung - die meisten kann man garnicht "lösen"

Viel erfolg noch im Unterricht!

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Im Allgemeinen sind Differentialgleichungen nicht so einfach lösbar. Sie sind sehr tiefgründig und es bedarf schon eines zwei bis dreijährigen Studiums, um wirklich die Theorie dahinter verstanden zu haben.

in deinem Fall würde ich mit dem sog. charakteristischen Polynom herangehen. Das kann ich dir jetzt nicht auf Anhieb erklären, dazu solltest du eine entsprechende Vorlesung besuchen, oder mit deinem Physiklehrer sprechen. Aber kurz und knapp erklärt, nimmt man an, dass die Lösungsstruktur dieser DGL die Form s(t)=C_1*e^(lambda * t) hat. Leite das ganze zweimal ab und setze es in die Gleichung ein. e^(lambda * t) kürzt sich heraus. Hol den rechten Term auf die linke seite und du hast

lambda²+(g/l)=0 da stehen. Löse diese quadratische Gleichung und du erhälst die Nullstellen +i*sqrt(g/l), also komplexwertige, sogar imaginäre Lösungen. Diese bilden deine beiden Lambdas. Die Lösung lautet also s(t)=C1e^(i sqrt(g/l) t)+C_2e^(-i sqrt(g/l) t). Durch Einsetzen kontrollierst du, ob die Gleichung erfüllt ist.

MFG Mathgeek

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Kommentar von mathgeek007
04.07.2011, 17:42

menno, der macht das nich so, wie ich das gerne möchte :)

lambda _ (1,2)= + _ i*sqrt(g/l)

sollte es heißen...

0

Lineare DGLn mit konstanten Koeffizienten haben immer e-Funktionen als Lösung.

Also s(t)=K* exp(pt)

Differenzieren und einsetzen ergibt dann ein charakteristisches Polynom für p. Das lässt sich bis zur 2. Ordnung immer geschlossen lösen, darüber (kubische Gleichung) nicht mehr.

Hier folgt dann:

p²=-g/l

Das hat natürlich keine reelle Lösung mehr, sondern nur noch komplexe:

p1=+wurzel(g/l) p2=-wurzel(g/l)

Und die E-funktionen mit komplexen Exponenten sind nach der Eulerschen Formel nichts anderes als sinus- bzw. Kosinusfunktionen.

Wobei (wie der jobojoob richtig geschrieben hat) man auch sinus und kosinus hier direkt als Lösungen für s(t) ansetzen kann.

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