Wie löse ich die folgende Gleichung - Wolfram ?

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3 Antworten

Sei die Gleichung:

x^4 - (a+4)x^2 + 4a = 0

gegeben. Obwohl es sich bei dieser Gleichung nicht um eine quadratische handelt, so ist diese doch von quadratischem Charackter, sprich von der Form:

a*x^(2n) + b*x^n + c = 0  mit n aus IN\\\\{0}

mittels des Potenzgesetze können wir dies umschreiben zu:

a*(x^n)^2 + b*x^n + c = 0

Mittels Substitution u = x^n erhalten wir dann:

a*u^2 + b*u + c = 0

Eine einfach zu lösende quadratische Gleichung. Wir erhalten die beiden Lösungen: u(1) und u(2)

Schließlich folgt dann die gesamte Lösungsmenge über eine Resubstitution:

x^n = u  ---> u^(1/n) = x

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Hallo,

wenn Du x² durch z ersetzt, bekommst Du

z²-(a+4)z+4a=0

pq-Formel mit p=-(a+4) und q=4a ergibt:

z1;2=(a+4)/2±√[(a+4)²/4-4a]

Unter der Wurzel kannst Du den Term zusammenfassen zu

(a²+8a+16)/4-4a=(a²-8a+16)/4=(a-4)²/4

Die Wurzel aus (a-4)²/4 ist (a-4)/2

Das führt zu den beiden Lösungen:

z=(a+4)/2+(a-4)/2=a

und z=(a+4)/2-(a-4)/2=4

Da z=x² sind die Lösungen für x jeweils die beiden Wurzeln aus 4:

x1=-2, x2=2 und aus a:

x3=-√a, x4=√a

Herzliche Grüße,

Willy

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Substitution passt, danach einfach die Mitternachtsformel (ABC-Formel) verwenden.

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