Wie löse ich Aufgabe b)?

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1 Antwort

Du hast Dich offenbar verrechnet.

Mit s=(15) und t=(13)(46) ergibt sich st=(153)(46) [oder st=(135)(46), wenn man Abbildungen von links schreibt. Das ändert an den folgenden Betrachtungen aber nichts].

Man sieht (oder rechnet nach), dass s^2=1, t^2=1 und (st)^6=1. Damit erhält man nacheinander durch abwechselnde Multiplikation mit t und s folgende Gleichungen:

stststststst = 1                |*t
stststststs = t |*s ststststst = ts |*t ststststs = tst |*s stststst = tsts |*t stststs = tstst |*s ststst = tststs |*t ststs = tststst |*s stst = tstststs |*t sts = tstststst |*s st = tststststs |*t s = tststststst |*s 1 = tstststststs

Nimmt man die jeweils kürzere Seite der Gleichungen erhält man also

G={1,s,t,st,ts,sts,tst,stst,tsts,ststs,tststs,ststst}

Dabei ist st zu ts und stst zu tsts invers. Alle anderen Elemente sind selbstinvers. Das kann man mit Fleiß und Konzentration in Zykelschreibweise aufschreiben.

Aus den Gleichungen (stststst = tsts) ergibt sich, dass

N = <stst> = { 1, stst, tsts }

und somit

G/N = {gN| g e G} = {1N, sN, tN, stN}, denn

 1N = ststN =  tstsN = {1,  stst, tsts}
sN = tstN = ststsN = {s, tst, ststs}
tN = stsN = tststN = {t, sts, tstst}
stN = stN = tsN = {st, ts, ststst}

Als Gruppentafel erhält man:

   || 1  | s  | t  | st |  
===||====================
1 || 1 | s | t | st |
s || s | 1 | st | t |
t || t | st | 1 | s |
st || st | t | t | 1 |
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