Wie leitet man eine Funktion mit Produkt- und Kettenregel ab?

2 Antworten

Vom Fragesteller als hilfreich ausgezeichnet

Hey,

laut deinem Usernamen bin ich mächtig :D


Hier erstmal eine

Beispielfunktion

, an der ich dann unten alles erkläre (nach Aufzeigen des Rechenweges).

f(x) = 2x * e^(2x)

Dort hast du sowohl ein Produkt als auch eine Verkettung.

Zuerst wende ich die Produktregel an:

f(x) = u(x)v(x) => f'(x) = u'(x) * v(x) + u(x) * v'(x)

u(x) = 2x => u'(x) = 2

v(x) = e^(2x)

Jetzt wenden wir zunächst die Kettenregel an, um die Ableitung für e^(2x) zu bekommen, die wir ja in der Produktregel brauchen:

v(x) = g(h(x)) => v'(x) = g'(h(x) * h'(x)

g(x) = e^x => g'(x) = e^x

h(x) = 2x => h'(x) = 2

=> v'(x) = e^(2x) * 2 = 2e^(2x)

Nun brauchen wir dieses v'(x) für unsere Produktregel oben:

=> f'(x) = 2 * e^(2x) + 2x * 2e^(2x) = 2e^(2x)(2x+1)


Nun noch einmal alles

Schritt für Schritt

auf allgemeiner Ebene:

  • Zunächst schaust du dir deine Funktion an. 

=> Wenn du bereits weißt, dass es um diesen Typ von Funktion handelt, dann suchst du nach einer Verkettung und einem Produkt in der Funktion.

  • Nun nimmst du dir diese Funktion und leitest systematisch ab. Das heißt, du wendest die Produkt- und dann die Kettenregel an oder umgekehrt. 
  • Bei beiden Methoden wirst du an einer Stelle "einen Haken haben", dann siehst du, dass du zunächst mit der anderen Ableitungsmethode weiter rechnen musst. 
  • nun leitest du bis zum Schluss wie gelernt ab.

Nun zunächst ein Exkurs zur

Kettenregel und Produktregel:

KETTENREGEL

Die Kettenregel ist eine Ableitungsregel, die man bei verketteten Funktionen verwendet. Das heißt, die abzuleitende Funktion hat die Form

f(x) = g(h(x))

Diese Schreibweise bedeutet quasi, dass es eine Funktion gibt, die von einer weiteren umschlossen ist. Diese Funktionen nennt man dann innere bzw. äußere Funktion

Beispiel: f(x) = (x+2)^4

=> Dort hast du einmal x+2, das wird umschlossen von dem (...)^4. Deine innere Funktion wäre hier also x+2 und die äußere x^4 (das x wird ja dann durch den entsprechenden Term der inneren Funktion ersetzt).

Wenn du das nun ableiten möchtest, verwendest du folgende Regel:

f'(x) = g'(h(x)) * h'(x)

=> hier auf das Beispiel angewendet also f'(x) = 4(x+2)³.

PRODUKTREGEL

Hier hast du als eine Funktion ein Produkt zweier Funktionen. Allgemein wäre das

f(x) = u(x) * v(x)

Dabei ist u(x) die eine Funktion und v(x) die andere. 

Beispiel: f(x) = 2x * sin(x)

Nun teilen wir das auf: u(x) = 2x; v(x) = sin(x)

Wenn wir das nun ableiten, haben wir allgemein:

f'(x) = u'(x) * v(x) + u(x) * v'(x)

=> hier also f'(x) = 2sin(x) + 2x * cos(x) = 2(sin(x) + xcos(x))


Nun wenden wir das

explizit auf das Beispiel

 an (Schritt für Schritt):

  • Zunächst sehen wir uns die Funktion an. Dort haben wir einmal ein Produkt: u(x) = 2x; v(x) = e^(2x)
  • Dieses Produkt hat auch bei v(x) noch eine Verkettung: g(x) = e^x; h(x) = 2x
  • Nun habe ich zuerst die Produktregel angewendet. Wir haben ja u(x) und v(x) und benötigen nur unsere Formel. Jetzt kommt Der Knackpunkt: Wir brauchen doch in der Produktregel die Ableitung von v(x). Das ist doch aber eine Verkettete Funktion...und nun? Genau, wir leiten diese Teilfunktion zunächst nach der Kettenregel ab: v'(x) = e^(2x) * 2 = 2e^(2x)
  • Nun, da wir diese Funktion jetzt auch abgeleitet haben, kann man die Produktregel problemlos anwenden: f'(x) = 2 * e^(2x) + 2x * 2e^(2x).

Nun haben wir die Rechnung in den Schritten abgeschlossen und erhalten:

f'(x) = 2e^(2x) * (2x+1)

Ich habe im Übrigen nur 2e^(2x) aus dem im vierten Schritt ausgeklammert mehr nicht ;)


So, das war's erstmal von meiner Seite, hoffentlich haben dir meine Erklärungen etwas geholfen. Tut mir leid, wenn ich etwas unverständlich erklärt habe, bei Fragen bitte sofort nachfragen! :)

LG ShD

habe mich ganz arg verrechnet! Selbstverständlich muss es 4x * e^(2x) + 2e^(2x) sein, aber das ganz ganz am Ende stimmt...

LG ShD

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vielen Dank für den Stern! :))

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