Wie leite ich einen 2er Logarithmus ab?

4 Antworten

Im Zweifelsfall google mal nach "Basiswechsel Logarithmus", dann solltest du in der Lage sein den Logarithmus zur Basis von 2 in einen Logarithmus mit zur Basis von e umwandeln können.

Danke, ich hab schon gegoogelt, hab aber immer nur gefunden, dass die Ableitung 1/x*ln(2) ist, stimmt wohl, aber damit komm ich nicht weiter. Basiswechsel war das was ich gesucht habe.

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log _ a (b) = ln(b) / ln(a)

ln = logarithmus naturalis

log _ a (b) = Logarithmus zur Basis a von b

H(p) = -1 + p * log2(1-p) - p * log2(p)

log2(1-p) = ln(1-p) / ln(2)

log2(p) = ln(p) / ln(2)

H(p) = -1 + p * ln(1 - p) / ln(2) - p * ln(p) / ln(2)

H(p) = -1 + (p / ln(2)) * (ln(1 - p) - ln(p))

H(p) = -1 + u(p) * v(p)

(-1)´ = 0

(u(p) * v(p))´ = u´(p) * v(p) + v´(p) * u(p)

u(p) = (p / ln(2))

u´(p) = 1 / ln(2)

v(p) = (ln(1 - p) - ln(p))

v´(p) = 1 / ((p - 1) * p)

u´(p) * v(p) + v´(p) * u(p) = (ln(1 - p) - ln(p)) / ln(2) + (p / ln(2)) / ((p - 1) * p)

H´(p) = (ln(1 - p) - ln(p)) / ln(2) + (p / ln(2)) / ((p - 1) * p)

Okay, dann hab ich 0 = ln(1-p) - ln(p)

Wie kann ich den ln aufloesen?

Also angenommen du hast :  log_a(b) ; und du möchtest diesen nun in den natürlichen Logarithmus überführen, so kannst du das mit folgender Formel tun:

log_a(b) = ln(b)/ln(a)

http://www.matheboard.de/archive/515558/thread.html

(Ein Link der eine kurze Erklärung dazu enthält)

Betrachten wir deinen Fall, so erhalten wir:

log_2(1-p) = ln(1-p)/ln(2) 

und 

log_2(p) = ln(p)/ln(2) 

Also:

H = -1 + p * log2(1-p) - p * log2(p)

= -1 + (p/ln(2)*( ln(1-p) -  ln(p) ) 

Und diesen Ausdruck müsstest du eigentlich recht einfach ableiten können wenn du weißt, dass die Ableitung von ln(x) = 1/x  ist. 

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@poseidon42

Ich bin mir nicht sicher ist leider schon zu spät, ich werde mich dann gegebenenfalls morgen nochmal korrigieren 

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