Wie leite ich diese funktion in abhängigkeit von t ab?

... komplette Frage anzeigen

2 Antworten

F _ w (t) = 4 * (w ^ 2) * (t ^ 3) * e ^ ( - 0.5 * (w ^ 2) * (t ^ 2))

Substitution :

z = - 0.5 * (w ^ 2)

F _ z (t) = - 8 * z * (t ^ 3) * e ^ (z * (t ^ 2))

Nochmal substituieren :

k = -8 * z

F _ z, k (t) = k * (t ^ 3) * e ^ (z * (t ^ 2))

Nun nach t ableiten :

Es gilt folgendes :

f(t) = u(t) * e ^ v(t)

f´(t) = (u(t) * v´(t) + u´(t)) * e ^ (v(t))

Das kannst du jetzt auch auf F _ z, k (t) anwenden.

F _ z, k (t) = k * (t ^ 3) * e ^ (z * (t ^ 2))

u(t) = k * (t ^ 3)

v(t) = z * (t ^ 2)

u´(t) = 3 * k * (t ^ 2)

v´(t) = 2 * z * t

F´ _ z, k (t) = (k * (t ^ 3) * 2 * z * t + 3 * k * (t ^ 2)) * e ^ (z * (t ^ 2))

Das noch umstellen und vereinfachen :

F´ _ z, k (t) = (2 * k * z *  (t ^ 4) + 3 * k * (t ^ 2)) * e ^ (z * (t ^ 2))

Nun die Rücksubstitutionen machen :

k = - 8 * z und z = - 0.5 * (w ^ 2)

F´ _ z (t) = (2 * (-8 * z) * z *  (t ^ 4) + 3 * (-8 * z) * (t ^ 2)) * e ^ (z * (t ^ 2))

F´ _ z (t) = (- 16 *  z ^ 2 *  (t ^ 4) - 24 * z * (t ^ 2)) * e ^ (z * (t ^ 2))

F´ _ w (t) = (- 16 *  (- 0.5 * (w ^ 2)) ^ 2 *  (t ^ 4) - 24 * (- 0.5 * (w ^ 2)) * (t ^ 2)) * e ^ ((- 0.5 * (w ^ 2)) * (t ^ 2))

F´ _ w (t) = (- 4 * w ^ 4 *  (t ^ 4) + 12 * (w ^ 2) * (t ^ 2)) * e ^ (- 0.5 * (w ^ 2) * (t ^ 2))

Das ist dein Endergebnis.

Antwort bewerten Vielen Dank für Deine Bewertung

Die vorne stehenden Faktoren    4 w^2  sind konstant und kommen einfach so mit in die Ableitung.

Für den Rest braucht man die Produktregel und die Kettenregel:

[ t^3 * e^(-0.5 w^2 * t^2) ] '  =  3 t^2 * [ e^(-0.5 w^2 * t^2) ] + t^3 * [ e^(-0.5 w^2 * t^2 ) * ( - w^2 * t) ]

Dann natürlich weiter zusammenfassen.

Antwort bewerten Vielen Dank für Deine Bewertung

Was möchtest Du wissen?