wie lauten die Sätze zu Ähnlichkeit und Gleichheit in der Geometrie?

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Hallo,

es gibt für Dreiecke vier Kongruenzsätze und vier Ähnlichkeitssätze. Wenn zwei Dreiecke kongruent sind, dann kann man sie ausschneiden und deckungsgleich aufeinanderlegen. Sind sie ähnlich, kann man eins in das andere verwandeln, wenn man es maßstabsgerecht verkleinert oder vergrößert. Die vier Kongruenzsätze lauten: 

1.) Kongruenzsatz SSS: Zwei Dreiecke sind kongruent, wenn sie in den Längen aller drei Seiten übereinstimmen. 

2.) Kongruenzsatz SWS: Zwei Dreiecke sind kongruent, wenn sie in zwei gleichliegenden Seiten und dem von diesen eingeschlossenen Winkel übereinstimmen. 

3.) Kongruenzsatz WSW: Zwei Dreiecke sind kongruent, wenn sie in einer Seite und der beiden an dieser anliegenden Winkel übereinstimmen. 

4.) Kongruenzsatz SsW: Zwei Dreiecke sind kongruent, wenn sie in der Größe zweier Seiten und dem Winkel, der der größeren Seite gegenüberliegt, übereinstimmen. 

Alle Dreiecke, von denen diese Angaben bekannt sind - drei Seiten oder zwei Seiten und der von ihnen eingeschlossene Winkel oder einer Seite und die beiden Winkel, die an dieser anliegen oder zwei Seiten und der Winkel, der der größeren der beiden gegenüberliegt - lassen sich eindeutig konstruieren - jedenfalls in der Ebene. Kongruente Dreiecke unterscheiden sich also höchsten dadurch, daß sie gegeneinander verdreht sind oder daß das eine ein Spiegelbild des anderen ist. 

Dazu gibt es noch vier Ähnlichkeitssätze. Dreiecke, die einander ähnlich sind, sind nicht flächengleich, haben aber gleiche Seitenverhältnisse und gleich große Winkel. Die vier Ähnlichkeitssätze lauten: 

1.) Zwei Dreiecke sind ähnlich, wenn sie in der Größe zweier gleichliegender Winkel übereinstimmen - das ist der Hauptähnlichkeitssatz. 

2.) Zwei Dreiecke sind ähnlich, wenn sie in den Längenverhältnissen zweier gleichliegender Seiten und in dem von diesen eingeschlossenen Winkel übereinstimmen. 

3.) Zwei Dreiecke sind ähnlich, wenn sie in den Längenverhältnissen aller drei Seiten übereinstimmen. 

4.) Zwei Dreiecke sind ähnlich, wenn sie in den Längenverhältnissen zweier Seiten und in dem der größeren Seite gegenüberliegenden Winkel übereinstimmen. 

Du merkst, daß die Kongruenz- und die Ähnlichkeitssätze eng miteinander verwandt sind. Der Unterschied besteht darin, daß es bei ähnlichen Dreiecken reicht, wenn die Längenverhältnisse zweier entsprechender Seiten und ein Winkel übereinstimmen; wenn Du zum Beispiel bei beiden Dreiecken die Seite a durch die Seite c teilst und dasselbe Ergebnis erhältst - die Seiten müssen also nicht gleich lang sein. 

Die Ähnlichkeitssätze hängen eng mit den Strahlensätzen zusammen. Wichtig ist allerdings, daß die Winkel übereinstimmen.

Herzliche Grüße,

Willy

Herzlichen Dank für den Stern. Willy

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Ähnlich sind Dreiecke wen mindestens zwei Winkel gleich gross sind. Seiten können also verschieden Lang sein. Gleich sind sie wen sie Kongruent also Deckungsgleich sind. LG

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Das ist öfters mal der Fall.

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