Wie lang sind die Seiten?

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4 Antworten

Pythagoras ist schon ganz richtig, da die Höhe mit dem Schenkel und der Hälfte der Basis ein rechtwinkliges Dreieck bildet.

Wir nennen die Schenkel mal beide s (sind gleich lang) und die Basis b und die Höhe h.

Jetzt können wir aus der Aufgabenstellung einige Gleichungen bilden:

Der Umfang eines gleichschenkligen Dreiecks beträgt 36 cm.

Der Umfang ist die Summe der drei Seiten - wir brauchen nur zwei Variablen, weil die Schenkel sowieso gleichlang sind: 2s + b = 36

Jeder Schenkel ist 4 cm länger als die Höhe zur Basis.

Sollte auch kein Problem sein: s = h + 4

Und außerdem wissen wir, dass ein rechtwinkliges Dreieck zwischen Schenkel, Höhe und der halben Basis existiert: (b/2)² + h² = s²

Also haben wir drei Gleichungen und damit ein Gleichungssystem.

Lösen wir das, erhalten wir:
b = -32, h = 30, s = 34 oder b = 16, h = 6, s = 10

Es gibt zwei mögliche Lösungen - aber nicht beide ergeben in dem Sachzusammenhang Sinn. Bei der ersten Lösung ist b = -32 und da b eine Seitenlänge darstellt - was soll schon eine negative Länge sein?

Diese Lösung können wir also in die Tonne treten und es bleibt übrig:

b = 16, h = 6, s = 10

Das sind die Längen der drei Seiten.

Bei Fragen einfach fragen. :)

LG Willibergi

Tebatibbas1234 27.02.2017, 11:54

Hab ich genauso raus, richtig!

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awkwardusername 27.02.2017, 15:10

Vielen Dank! Aber wie rechne ich denn:
(b/2)² + h² = s²

also s ist ja h+4, aber ich komme nicht weiter

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Willibergi 27.02.2017, 15:35
@awkwardusername

Bei dir hakt es also beim Gleichungssystem.

(I)    2s + b = 36
(II)   s = h + 4
(III)  (b/2)² + h² = s²

Die grundsätzliche Vorgehensweise ist eigentlich immer, das Gleichungssystem mit drei Variablen durch Einsetzen einer Gleichung in ein Gleichungssystem mit zwei Variablen umzuwandeln.

Gleichung (I) hat ohnehin nur zwei Variablen, das ist schon mal gut. Jetzt sollten wir gucken, dass wir eine der anderen Gleichungen so umformen, dass dieselben Variablen, die in (I) zu finden sind, auch dort übrig bleiben. Wir müssen also das h ersetzen.

Dazu haben wir zwei Möglichkeiten:
(II) nach h umformen oder (III) nach h umformen

Was ist jetzt schlauer? Naja, ganz offensichtlich geht die Umformung bei (II) einfacher.

s = h + 4 ⇔ h = s - 4

Und das setzen wir nun in (III) ein:

(b/2)² + (s - 4)² = s²

Ab jetzt kannst du wieder weitermachen, Stichwort binomische Formeln und auflösen. Mit (I) und (III) hast du dann ein Gleichungssystem mit zwei Gleichungen und zwei Unbekannten und das kriegst du locker hin. ;-)

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Zeichne es auf. Die Höhe unterteilt das gleichschenklige Dreieck in zwei rechtwinkelige Dreiecke mit den Schenkeln als Hypothenuse. Ist die Grundseite g, h die Höhe und s der Schenkel, so gilt:

2s+g=36 (Umfang)

s=h+4 (Schenkel ist 4cm länger als die Höhe)

s²=h²+(g/2)²

Daraus kannst Du jetzt s, g, und h bestimmen.

Wenn man das Dreieck halbiert bekommt man als Hypothinuse x+4 und Kathete: z. Die höhe wäre x.

x+4 + z sind dann 18 cm.

d.h. x+z = 14 cm

jetzt kann man mit diesem ansatz irgendwie weiterrechnen glaub ich :)

Dein Lösungsansatz?

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