Wie lässt sich der Satz des Pythagoras anhand von Vektoren beweisen?

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Vektoriell gilt       < a > + < b > = < c >                  Vektordarstellung < x >

Beiderseits quadrieren     : < a >² + 2 <a > • < b > + < b >²  =  < c >²
Quadrate werden Skalare: a² + 2 < a > • < b > + b²              =  c²

In einem rechtwinkligen Dreieck stehen <a> und <b> senkrecht aufeinander,
also ist ihr Skalarprodukt gleich Null. Es bleib also:

                                               a²   +   b²                               =  c²

Und das nennt man den Satz des Pythagoras.                        

Über den Kosinussatz und den Zusammenhang zwischen Kosinus und Skalarprodukt. (Der Satz des Pythagoras ist ja ein Spezialfall des Kosinussatzes.)

Zusätzlich berücksichtigt man noch: Die Summe der drei Seitenvektoren (in entsprechender Orientierung) ist der Nullvektor.

Dann lässt sich der Kosinussatz sehr leicht herleiten. (Falls der Zusammenhang zwischen Kosinus und Skalarprodukt über den Kosinussatz bewiesen wurde, ist das allerdings ein Zirkelschluss und damit als Beweis wertlos.)

Nachtrag: weniger Gedanken über den Winkel muss man sich machen, wenn man die Seitenvektoren a und b beide am Punkt C beginnen lässt und den Seitenvektor c als c = a - b darstellt. (oder c = b - a, was letztlich auf dasselbe hinausläuft.)

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Tatsächlich über Vektoren sehr simpel, da man bei richtiger Benennung der Vektoren die Katheten v und w und die Hypothenuse (v+w) erhält. Alles was dann noch nachzuweisen ist, ist dass |v|^2 + |w|^2 = |v+w|^2 ist

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