Wie kommt (!) man auf diese Lösung und kann mir bitte jmd den Rechenweg erklären?

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4 Antworten

Hallo,

auf dem linken Blatt hast Du es mit zwei Parabeln zu tun.

Die erste ist nach unten offen, hat ihren Scheitelpunkt bei (0|4) und Nullstellen bei -4 und 4, die zweite ist nach oben offen, hat ihren Scheitelpunkt bei (0|-2) und Nullstellen bei -2 und 2.

Wenn Du diese beiden Parabeln in ein Koordinatensystem einzeichnest, siehst Du, daß sie symmetrisch zur y-Achse sind.

Wenn Du zwischen ihnen ein Rechteck einzeichnest, ist auch dieses symmetrisch zur y-Achse.

Für die Bestimmung des Maximums reicht es, die Hälfte des Rechtecks zu betrachten, die sich rechts von der y-Achse im positiven Bereich für x befindet.

Diese Hälfte hat einmal die Seite x, wobei x nicht größer werden darf als die Stelle, an der sich beide Funktionen schneiden. Das ist die waagerechte Seite.

Die senkrechte Seite hat eine Länge, die der Differenz aus den Funktionswerten der beiden Funktionen entspricht.

Das halbe Rechteck hat also den Flächeninhalt von x*(f(x)-g(x))

f(x)-g(x)=4-0,25x²-(0,5x²-2)=6-0,75x²

Ist die waagerechte Seite des halben Rechtecks also x Einheiten lang, so ist die senkrechte 6-0,75x² Einheiten lang.

Das ergibt einen Flächeninhalt von x*(6-0,75x²)=6x-0,75x³.

Hier siehst Du auch, welche Werte für x eine sinnvoll Fläche ergeben:

x muß größer als Null sein, weil sich sonst eine Fläche von Null ergibt, was sicher nicht das maximal Erreichbare ist. x muß andererseits so klein sein, daß 6x-0,75x³ nicht negativ wird. Das wäre der Fall, wenn 0,75x² größer als 6 würde bzw x² größer als 8. x muß also kleiner als die Wurzel aus 8 bleiben, sonst bekommst Du eine Fläche von 0 oder eine negative Fläche.

Die Flächenfunktion des halben Rechtecks ist also A(x)=6x-0,75x³.

Maximal wird sie da, wo ihre Ableitung gleich Null ist.

A'(x)=6-2,25x²

2,25x²=6
x²=2,67

x=1,634

A(1,634)=6,532

Das ist die maximale Fläche des halben Rechtecks. Die des ganzen ist das Doppelte davon.

Die Eckpunkte des Rechtecks sind demnach (1,634|f(1,634)) und (1,634|g(1,634)) sowie (-1,634|f(-1,634)) und (-1,634|g(-1,634))

Herzliche Grüße,

Willy

Wenn Du statt des gerundeten Wertes 2,67 8/3 einsetzt, wird die Lösung noch etwas genauer.

Wurzel aus 8/3=1,633

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Erstet Aufgabe: es hilft, wenn du dir zuerst die Graphen der beiden Funktionen erstellst.

Die Eckpunkte des Rechtecks müssen auf den jeweiligen Funktionen liegen. Es gilt also A(x,f(f)); B(-x,f(-x)) ; C(-x, g(-x)) ; D(x, g(x))

Die Breite des Rechtecks ist daher 2 * a und die Höhe f(a)-g(a)

wobei a zwischen den Schnittpunkten der Graphen liegen muss.

Du stellst nun die Funktion für U (bzw A) in a auf, bildest die erste Ableitung und suchst das jeweilige Maximum.

Weil f(x) eine nach unten geöffnete Parabel ist, sind die oberen Eckpunkte des Rechtecks durch [-x,f(-x)] und [x,f(x)] gegeben.

Weil g(x) eine nach oben geöffnete Parabel ist, sind die unteren Eckpunkte des Rechtecks durch [-x,g(-x)] und [x,g(x)] gegeben.

Die horizontale Seite des Rechtecks hat also die Länge 2*x, die vertikale f(x)-g(x). Bei der vertikalen Seite ist es egal, ob man f(x) - g(x) oder (f-x) - g(-x) rechnet, weil f(x)=f(-x) und g(x)=g(-x) gilt

Der Flächeninhalt ist also

F(x) = 2*x * (f(x) - g(x)) =
2x * [ 4 - 0.25x^2 - (-2 + 0,5x^2) ]
2x * [ 6 - 0.75x^2 ]
12x - 1.5x^3

Um einen Extrempunkt von F(x) zu finden, muss F'(x) = 0 sein

F'(x) = 12 - 4.5x^2

x1 = 1.63299 (Maximum)
x2 = -1.63299 (Minimum)

Das heisst allerdings nicht, dass bei x2 die Fläche minimal ist, denn aufgrund der Symmetrie sind die Flächen für x1 und x2 identisch.

Die minmimale Fläche ist 0 für x = 0.
Die maximale Fläche ist 13,0639 für x = x1.

Umfang dito

U(x) = 2*2*x + 2 * (f(x) - g(x))

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