wie kommt man z.b auf (x-2)hoch2?

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3 Antworten

(x-2)² ist wie du sicherlich erkennen kannst die 2. binomische Formel.

Vorher steht die binomische Formel bereist aufgelöst.

In dem Schritt passiert also nichts anderes als genau das umgekehrte.

Statt die binomische Formel aufzulösen (ausmutliplizieren), wird hier die binomische Formel gebildet und somit ausgeklammert.

Der Rest dahinter hat damit nichts zu tun und bleibt deshalb stehen.

Die Funktion f verändert sich dadurch aber nicht.

Der Schritt wird gemacht, um die Darstellungsform zu ändern.

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Ganz oben steht:

f(x) = x² - 4x + 1

Das ist die allgemeine Darstellungsform, auch Normalform (NF) genannt.

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Nach den ganzen umwandlungschritten findest du am Ende folgende Form:

f(x) = (x - 2)² - 3

Allgemein mit Variablen so aufgeschrieben:

f(x) = a (x - d) + e

Das ist die Scheitelpunktform.

Wie der Name schon sagt kannst du an der Form den Scheitelpunkt ablesen. Der besteht aus den Parametern d und e, also S(d | e)

Hier ist der Scheitelpunk S(2 | -3).

Wichtig: Das Vorzeichen vom Parameter d muss immer vertauscht werden. Die -2 in der Klammer sagen, dass der Graph um 2 Einheiten nach rechts verschoben ist, obwohl dort ein minus steht und das eigentlich links heißen würde. Hier ist sogesehen Gegenteiltag! ;)

Genauso ist es dementsprechend auch beim Scheitelpunkt. Obwohl dort -2 steht hat der Scheitelpunkt die x-Koordinate x = 2.

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Ebenso kannst du an der Scheitelpunktform ablesen, ob die Funktion Nullstellen hat. Ggf. kannst du auch erkennen, wo diese ist / sind.

Dazu schauen wir uns erst nochmal die allgemeine Form mit Variablen an.

f(x) = a (x - d) + e

►Haben Parameter a und e nun das gleiche Vorzeichen, dann hat die Funktion keine Nullstellen!

►Haben Parameter a und e nicht das gleiche Vorzeichen, dann hat die Funktion auch Nullstellen!

Wo die Nullstelle(n) sind kannst du nur ablesen, wenn die Funktion nicht auf der y-Achse, also nach oben oder unten verschoben wurde.

Die Nullstelle ist dann vom Parameter d abzulesen. Auch hier gilt: Vorzeichen umwandeln.

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►Lautet die Funktion f(x) = 2 (x - 3)² , dann ist die Nullstelle bei N(3 | 0).

►Lautet die Funktion f(x) = 2(x -3)² + 5, dann hat die Funktion keine Nullstelle(n), da das a (hier die 2) und das e (hier die 5) das selbe Vorzeichen haben.

►Lautet die Funktion f(x)  = 2(x-3)² - 3, dann kann ich erkennen, dass die Funktion Nullstellen hat. Wo diese liegen, kann ich allerdings nicht ablesen, da die Funktion nach unten verschoben ist.

Mehr zu den einzelnen Darstellungsformen von quadratischen Funktionen sowie den Umformungsschritten die du dafür brauchst, findest du in diesem Video:


Bei weiteren Fragen kannst du gerne fragen! ;)

Liebe Grüße

TechnikSpezi

Funktionsgraph der Funktion f - (Schule, Mathe, Mathematik)
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(x-2)² = x² -4x+4

Entweder du kennst die binomischen Formel (a-b)²=a²-2ab+b²

oder du multiplizierst es aus;

(x-2) * (x-2) = x*x - 2 * x - 2 * x - 2 * (-2) = x² -4x + 4

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Da wird die binomische Formel rückwärts abgewickelt

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