Wie kommt man von der Obersumme und Untersumme zum Hauptsatz der Integral- und Differentialrechnung?

1 Antwort

Das Integralzeichen -verzerrtes S- ist der mathematische Befehl zur Aufsummierung unendlich vieler kleiner Teilflächen dA zur Gesamtfläche A

Beispiel: Gegeben die Gerade f(x)=m*x=2*x zeichne diese Gerade in ein x-y-Koordinatensystem

f(x)=2*x integriert F(x)=2*x^2/2=x^2+C

Anfangsbedingung x=0 Fläche A=0 also ist C=0

Fläche in Abhängigkeit von x in diesen Fall A(x)=x^2

Bei x=2 ergibt sich die Fläche A=2^2=4 FE (Flächeneinheiten)

soll nun die Fläche zwischen xu=0 und x=1 Null sein,so muß diese Fläche ja abgezogen werden.

Also A=große Fläche - kleine Fläche

große Fläche ist Ag=x^2+C=xo^2+C

kleine Fläche Ak=x^2+C=xu^2+C

A=Ag-Ak=(xo^2+C)-(xu^2+C)=xo^2+C-xu^2-C=xo^2-xu^2

Weil f(x)=2*x ein "rechtwinkliges Dreieck" ist,kannst du durch eine Proberechnung

die Formel A=(xo^2)-(xu^2) kotrollieren.

Hinweis: Hier sieht man schön,daß sich die Integrationskonstante C aufhebt.

Also erstmal lieben Dank für die Mühe. Ich verstehe aber nicht so ganz, weshalb man überhaupt voraussetzen kann, dass man 2*x integrieren muss um eine Flächenfunktion in Abhängigkeit zu x zu erhalten. Alle restlichen Schritte sind nachvollziehbar. Nur der Zusammenhang zwischen Fläche und Stammfunktion ist mir nicht ganz:

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@pommesfrites111

Zeichne ein x-y-Koordinatensystem mit der Funktion f(x)=2*x

Nun zeichnest du bei x=2 einen kleinen Flächenstreifen dA ein und schraffierst diesen.

Nun siehst du an der Zeichnung das die kleine Fläche dA=y*dx nur 1 kleine Teilfläche von vielen Flächen ist.

Um auf die Gesamtfläche A zu kommen,must du die Teilflächen dA aufsummieren und das macht die Integralrechnung

mit x=2 ergibt y=f(2)=2*2=4

nun wählen wir dx=x2-x1=2,001-2=0,001

dA=4*0,001=4*10^-3 FE ALSO SEHR KLEIN

Noch einfacheres Beispiel: y=f(x)=3*x^0=3=konstant

integriert F(x)=3*x^1+C dies ist die Formel für die Fläche eines Rechtecks Ar=a*b

F(x)=3*x also ist a=3=konstant und x=b was du frei wählen kannst

A=große Fläche - kleine Fläche wir wählen mal xu=2 und xo=6

A=(3*6+C)-(3*2+C)=18+C-6-c=12

Probe : große Fläche Ag=3*6=18 FE

kleine Fläche Ak=3*2=6

A=Ag-Ak=18-6=12

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