Wie kommt man hier auf die Nullstelle?

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8 Antworten

X^2-1 kann man als (x-1)(x+1) schreiben. Das ist Null wen eine der Klammern Null ist. Da das zu untersuchende Polynom 4ten Grades ist, gibt es 4 Nullstellen: 1, 1, -1 und -1. Hier führt einfaches Nachdenken am schnellsten zur Lösung!

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f(x) = (x ^ 2 - 1) ^ 2

Binomische Formel anwenden -->


f(x) = x ^ 4 - 2 * x ^ 2 + 1

x ^ 4 - 2 * x ^ 2 + 1 = 0

Substitution -->

z = x ^ 2

z ^ 2 - 2 * z + 1 = 0

pq - Formel anwenden -->

Die pq-Formel wird auf die Form z ^ 2 + p * z + q = 0 angewendet.

pq - Formel -->

z _ 1, 2 = - (p / 2) - / + √( (p / 2) ^ 2 – q )

p = -2

q = 1

p / 2 = -2 / 2 = -1

(p / 2) ^ 2 = (-1) ^ 2 = 1

z _ 1, 2 = - (-1) - / + √(1 – 1 )

z _ 1, 2 = 1 - / + 0

z _ 1 = 1

z _ 2 = 1

Nun folgt die Rücksubstitution -->

Weil z = x ^ 2 ist, deshalb ist x = -/+ √(z)

Das wird sowohl auf z _ 1 als auch auf z _ 2 angewendet.

x _ 1 = - √(1) = -1

x _ 2 = + √(1) = +1

x _ 3 = - √(1) = -1

x _ 4 = + √(1) = +1

Das sind insgesamt 4 Nullstellen.

Die Nullstellen x = -1 und x = +1 sind jeweils sogenannte doppelte Nullstellen.

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Kommentar von Wechselfreund
12.02.2016, 20:12

Die Klammer muss null werden! Das ist, wie man auch ohne Rechnung sieht, der Fall wenn x² = 1 ist, als für x = 1 oder x = -1.

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Nein, brauchst du nicht! Beschäftige dich mal mit den Schreibformen einer quadratischen Gleichung, dann weist du, was die Scheitelpunktform ist! Lies daraus einfach die Doppelnullstelle ab, denn sie ist gegeben und braucht nicht berechnet werden! Entschuldigung, habe x² in Klammer übersehen, ist ja 4.Grades!


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Kommentar von UlrichNagel
12.02.2016, 19:19

Hab mich über pq-Formel versichert, ist die gleiche Betrachtung wie bei (x-1)². also eine x^4 bei x=1.

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nee, mit Nullproduktsatz

x² - 1=0

x² = 1

x = ± 1

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1&-1
Man braucht bei einer so einfachen Gleichung keine Lösungsformel, da man die Lösungen ja fast schon ablesen kann.

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das ist doch schon so geschrieben

die liegt bei +1 und weil x² auch bei -1

https://rechneronline.de/funktionsgraphen/ da kannst du dir dein mal zeichen lassen ^^

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Kommentar von Phenon
12.02.2016, 19:11

musst es aber so (x^2-1)^2 eingeben

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Nein,das ist ganz leicht,schau:

f (x)=(x^2-1)^2

x^2*2-1^2

x^4-1^2|Wurzel

x^2-1=0|+1

x^2=1|Wurzel

x1=+1

x2=-1

-->Satz des Nullproduktes

LG.

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Kommentar von Wechselfreund
12.02.2016, 20:20

(a-b)² ist nicht a² - b²,

Die Umformung

f (x)=(x^2-1)^2

x^2*2-1^2

ist grob falsch!

Ebenso

x^4-1^2|Wurzel

x^2-1=0|+1

(x^2 -1)^2 ist x^4 -2x^2 +1 und nicht x^4-1^2

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Vorher glaube ich noch erste Ableitung bilden

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Kommentar von Epicmetalfan
12.02.2016, 21:21

glaubste falsch

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