Wie kommt man (differentiell) auf die Ladungsdichte des elektrischen Feldes einer Punktladung (Delta-Distribution)?

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3 Antworten

Warum schreibst du 1/r^2 ∂/∂r (r^2 * E).

Der Nablaoperator für Kugelkoordinaten ist doch er*∂/∂r, woher kommen deine r²?

Ich halte aber diese Betrachtung als ungeeignet.

Besser geht es mit der Integralform der Maxwellgleichung:

Q = VOLUMSINTEGRAL( • D) wobei D einfach nur E*ε₀ ist.

Nach dem Divergenzsatz von Gauß erhältst du:

Q = OBERFLÄCHENINTEGRAL(D•n)

Beim Coulombfeld ist die Richtung des Feldes immer senkrecht zu einer Kugelfläche.

Wenn du also als Volumen eine Kugel nimmst dann ist D•n immer D = |D|.

Jetzt kannst du so argumentieren, dass du die Kugel immer kleiner machst.

Nach dem Coulombpotenzial wird sich dein D mit kleiner werdender Oberfläche erhöhen.

Das Integral wird aber immer einen konstanten Wert liefern, nämlich Q.

Das wird so lange der Fall sein bis Q nicht mehr in deiner Kugel ist (dann erhältst du leicht ersichtlich 0) und das liefert dir letztendlich das Dirac-delta.


Es ist generell "schwer" mit einem Differential auf das Diracdelta zu kommen, dafür müsstest du eine Funktion haben die einen Sprung macht und folglich an dem Punkt auch nicht differenzierbar ist.

Von da her sieht das ∂/∂r (1) gar nicht mal so schlecht aus, denn das Problem ist auf dem gesamten Definitionsbereich deines Coulombpotenzials hast du die Ladung Q.

Wenn du dich für den Ort r = 0 interessierst ist die Formel für das Coulombpotenzial ungeeignet, denn da ist es nicht definiert.

Das Problem tritt auch bei der Integralform auf, man muss sozusagen beweisen dass der Wert des Integrals Q bleibt für den Grenzwert r+ -> 0 oder anders gesagt dass der Wert des Integrals unabhängig von r ist.

Bei 0 kann natürlich keine Ladung im Volumen sein und erst mit dieser Überlegung kommt man dann aufs Diracdelta, weil man eben gezeigt hat das für ein r > 0 gilt, dass das Integral Q ergibt und bei r = 0 das Integral 0 liefert.

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Kommentar von Kesselwagen
16.03.2016, 10:08

Vielen Dank für die ausführliche Antwort!

Hm... ich dachte wenn man die Divergenz eines Vektorfelds ausrechnet kommt ein Skalarfeld raus. (Skalarprodukt zwischen Nabla und E-Feld). Ich bestimme ja nicht den Gradienten wo ich einem Skalarfeld nen Vektorfeld "zuweise"... oder bring ich alles durcheinander?

Dadurch kommen diese zusätzliche Faktoren wie das 1/r^2, lt. Wikipedia, für Divergenz im Kugelkoordinatensystem.

Super, ich habe jetzt durch Deiner anschaulichen und ausführlichen Erklärung verstanden, in welche Richtung ich falsch gedacht habe etc.

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Dein Fehler ist, dass die Formel nicht für r=0 gilt.
Deswegen bekommst du Ladungsdichte ρ=0 für alle r ungleich 0.
Um r=0 anzuschauen, musst du das Volumentintegral um einen "ε-Ball" um den Ursprung machen. Dann kommst du auf die δ-Distribution.

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Kommentar von Kesselwagen
16.03.2016, 00:38

Danke für Deine Antwort, das bringt mich schon ziemlich viel weiter!

Gibt es mehr Hintergrundinfos zum "ε-Ball"? Wenn ich das wortwörtlich eintippe bei Google führt das zu nichts hilfreichem. Hast Du vielleicht anschauliche PDFs oder irgendwelche Literaturlinks, wo sowas drin steht oder drin stehen könnte?

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wie Rynak schon geschrieben hat musst du die gleichung E = ρ / ε₀ über ein infinitesimal kleines volumen um den ursprung integrieren. durch die symmetrie des problems ist am einfachsten natürlich eine kugel mit mittelpunkt im ursprung mit radius ε, und zum schluss nimmst du einfach den limes ε-->0

für die linke seite der gleichung wendest du den Gaußschen integralsatz an und damit erhältst du Q/ε₀ . damit ist der limes ε-->0 natürlich trivial, da das resultat gar nicht von ε abhängt.

wenn du das mit der rechten seite vergleichst siehst du, dass das integral über die ladungsverteilung über ein infinitesimal kleines volumen um den ursprung einfach konstant Q ist. das kann aber nur sein wenn ρ(x)=Q * delta(x) ist, denn für jede andere (nicht distributionelle) funktion geht das integral gegen 0, wenn der bereich über den man integriert gegen 0 geht.

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