Wie kommt man bei gegebenem Verlauf der Differentialgleichungen um die Ruhelagen auf die Richtungen ?

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1 Antwort

Die Stabilität der Ruhelage einer skalaren autonomen DLG

y' = f(x)

wird durch die Vorzeichenverteilung von f(x) bestimmt.

1)
Die Ruhelage x0 ist asymptotisch stabil, wenn gilt

f(x) > 0 für x < x0
f(x) < 0 für x > x0

2)
Die Ruhelage x0 ist asymptotisch instabil, wenn gilt

f(x) < 0 für x < x0
f(x) > 0 für x > x0

In der ersten Zeichnung gilt für die Ruhelage x0=0 Regel 1, deswegen ist die DLG bei 0 stabil.

In der zweiten Zeichnung (die nichts mit der DLG y'=-x^3 zun tun hat !),
ist eine unbekannte Funktion y' gezeichnet, um stabile und instabile Ruhelagen darzustellen.

Die Ruhelage bei x0=1 ist instabil (Regel 2)
Die Ruhelage bei x0=7 ist stabil (Regel 1)
Die Ruhelage bei x0=10 ist instabil (Regel 2)

Die Pfeile > ... < verweisen in beiden Zeichnungen auf eine stabile Ruhelage. Das ist gleichsam das +-Delta in Umgebung der Ruhelage.

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Kommentar von surbahar53
09.11.2016, 19:14

Oder einfacher :

Wenn für eine skalare autonome DLG

y' = f(x) ...

... f(x) > 0 gilt, dann wird dieser Bereich mit dem Pfeil ">" markiert

... f(x) < 0 gilt, dann wird dieser Bereich mit dem Pfeil "<" markiert

Kann man nun die beiden Pfeile > und < beliebig nahe an die Nullstelle schieben, handelt sich um eine stabile Ruhelage.

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