Wie kommt man bei der Aufgabe c auf die 1/8 (Integralrechnung)?

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5 Antworten

Hallo,

wenn Du Stammfunktionen zu verketteten Funktionen suchst wie hier, benutzt Du oft das Substitutionsverfahren, das heißt, Du ersetzt eine der verketteten Funktionen durch etwas anderes.

Hier steht die Funktion f(s)=8s+1 noch zusätzlich unter einer Wurzel, die wiederum eine Funktion ist.

Normalerweise steht als Argument einer Funktion irgendeine Variable.

f(x)=√x bzw f(x)=x^(1/2) (dasselbe in Grün) ist eine Funktion, zu der man ganz einfach nach der Potenzregel eine Stammfunktion findet.

Bekanntlich lautet die Stammfunktion von f(x)=ax^n F(x)=[a/(n+1)]*x^(n+1), das heißt: ein konstanter Faktor vor dem x bleibt erhalten. Der Exponent von x wird um 1 erhöht und sein Kehrwert wird als zusätzlicher Faktor neben dem schon vorhandenen Faktor a vor das x gestellt, während dieses einen Exponenten erhält, der um 1 höher als der alte Exponent ist.

Beispiel: f(x)=2x^3 F(x)=2*(1/4)*x^4

Du siehst: die 2 blieb einfach stehen, die 3 aus dem Exponenten wurde um 1 erhöht und damit zu 4. Der Kehrwert von 4 ist 1/4, was als neuer Faktor auftaucht; außerdem wird aus der 3 im Exponenten eine 4, also 3+1.

Da Du auch Wurzeln als Exponenten darstellen kannst, kannst Du hier die gleiche Methode anwenden.

Wurzel (x)=x^(1/2)

1/2+1=3/2, der Kehrwert von 3/2 ist 2/3.

So wird aus f(x)=x^(1/2) F(x)=(2/3)x^(3/2)+C

Das +C ist irgendeine Konstante, die der Vollständigkeit halber mit hingeschrieben wird.

Weil die Integration das Gegenteil der Differenzierung ist und somit die Stammfunktion F(x) die Funktion ist, deren Ableitung f(x) ist, kannst Du nicht wissen, ob f(x) aus einer Funktion F(x) entstanden ist, die irgendeine Zahl ohne x als Konstante hatte, weil diese beim Ableiten verschwindet.

So wird aus F(x)=x² f(x)=2x, also die Ableitung.

Ebenso wird aus F(x)=x²+3 f(x)=2x, weil die 3 beim Ableiten verschwindet.

Wenn Du also nur f(x)=2x hast und überlegst, woraus diese als Ableitung entstanden sein kann, schreibst Du x²+C, wobei C eben irgendeine Zahl ist.

Wenn Du Flächen berechnest, spielt das C aber keine Rolle, weil Du dabei ja immer das Integral der Untergrenze vom Integral der Obergrenze abziehst. Dabei entsteht der Ausdruck C-C, der sich aufhebt.

Ich persönlich fände nichts dabei, das C einfach wegzulassen, dann meckern aber die Mathematiker und vor allem die Lehrer.

Während es relativ einfach ist, Stammfunktionen zu Funktionen der Form f(x)=
ax^n zu finden, wird die Sache komplizierter, wenn statt x eine Funktion da steht, wenn Du also eine Stammfunktion zu f(g(x)) suchst.

Das ist hier der Fall.

Du suchst nicht die Stammfunktion zu f(x)=x^(1/2), sondern zu
f(8s+1)=(8s+1)^(1/2)

Da s eine Variable ist, kannst Du jetzt nicht einfach schreiben
F(8s+1)=(2/3)*(8s+1)^(3/2), denn wenn Du das ableitest, kommst Du niemals auf (8s+1)^(1/2), sondern auf (8s+1)^(1/2)*8, denn nach der Kettenregel mußt Du die äußere Ableitung noch mit der Ableitung der inneren Funktion, also mit der Ableitung von 8s+1, welche 8 ist, multiplizieren.

Du würdest also auf die Funktion 8*f(8s+1) kommen, wenn Du
F(8s+1)=(2/3)*(8s+1)^(3/2)+C ableitest.

Folglich mußt Du die Stammfunktion durch 8 teilen, damit es paßt:

F(x)=(1/8)*(2/3)*(8s+1)^(3/2)+C ergibt abgeleitet tatsächlich f(8s+1)=(8s+1)^(1/2), denn das +C verschwindet, (3/2)*(2/3) heben sich auf und die innere Ableitung 8 wird durch 1/8 aufgehoben.

Allgemein funktioniert das so:

Du ersetzt die innere Funktion durch einen Buchstaben, etwa u (egal).

Du suchst also erst einmal die Stammfunktion zu u^(1/2):

F(u)=(2/3)*u^(3/2)+C (Potenzregel)

Da Du u als Ersatz für 8s+1 genommen hast, leitest Du u nach s ab:

du/ds=8

Dann ist ds=du/8 oder (1/8) du.

Du kannst also 8s+1 nur dann durch u ersetzen, wenn Du zusätzlich den Faktor 1/8 (also den Kehrwert der inneren Ableitung) vor das neue Integral stellst.

So kommst Du auf F(u)=(1/8)*(2/3)*u^(3/2)+C, wobei Du das u nun wieder durch 8s+1 ersetzen kannst und endlich auf F(s)=(1/8)*(2/3)*(8s+1)^(3/2)+C kommst.

(1/8)*(2/3) kannst Du noch zu 1/12 zusammenfassen.

Aber Vorsicht: Das mit der Substitution klappt nur, wenn keine alte Variable übrigbleibt.

Wenn Du f(s)=(8s²+1)^(1/2) hast und nun 8s²+1 durch u ersetzt, dann ist 
du/ds=16s und ds=du/(16s), womit Du nichts anfangen kannst, weil Du das s nicht loswirst.

Anders ist es, wenn Du die Funktion s*(8s²+1)^(1/2) hast.

Dann hebt das s vor dem Klammerterm das s im Nenner auf und verschwindet.

Also: Substituieren funktioniert nur, wenn Du die ursprüngliche Variable durch die Substitution völlig loswirst. Das funktioniert nicht immer oder manchmal nur durch ganz verrückte Substitutionen, indem man einen Term durch den Tangens oder so etwas ersetzt. Hier wird die Integration zur Kunst, die viel Erfahrung und Kreativität erfordert.

Herzliche Grüße,

Willy

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Kommentar von Willy1729
02.07.2017, 19:00

Vielen Dank für den Stern.

Willy

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Im Prinzip rechnest du die Kettenregel rückwärts. Da beim Ableiten 8 als konstanter Faktor dazu kommt, da man 8x+1 als innere Funktion ableitet, muss bei der Umkehrung der Ableitung, also der Integration, auch die Umkehrung von mal 8 erfolgen, nämlich geteilt durch 8 bzw mal 1/8 erfolgen.

Als Regel gilt:  ∫(ax+b)^n dx = 1/a * 1/(n+1) * (ax+b)^(n+1) + C

Das dies gilt, zeigt man per Integralsubstitution:

Sei ∫(ax+b)^n dx zu berechnen. Sei u=ax+b.

Dann ist du/dx=a --> du/a = dx

--> ∫(ax+b)^n dx = ∫(u)^n * du/a

=1/a * ∫u^n du

=1/a * 1/(n+1) * u^(n+1) + C

=1/a * 1/(n+1) * (ax+b)^(n+1) + C

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Mit dem Erklären der Integration sollte man vielleicht nicht gerade mit der e-Funktion beginnen. Dafür hat man die Potenzfunktionen, da ist es wenigstens plastisch, und man kommt am schnellsten zur Fläche

und zum Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung.

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das nennt sich "einfache substitionelle Integration"  (google) und

die innere Ableitung des Wurzelausdrucks ist 8

und davon nimmst du den Kehrwert; also 1/8

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Kommentar von Ellejolka
30.06.2017, 19:40

substitutionelle

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Leite die Funktion doch einfach wieder ab, dann siehst du auch, warum da 1/8 stehen muss.

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Kommentar von KingDeKing
30.06.2017, 19:24

ich denke ich muss das substituieren

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