Wie kommt man auf den Winkel (trigonometrie, Physik)?

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5 Antworten

Addition der Kräfte vertikal:

(1) Fa •  cos(α) + Fb •  cos(β) = Fres

Gleichgewicht der Kräfte horizontal:

(2) Fa •  sin(α) = Fb •  sin(β)

(2) Fa = Fb •  sin(β) / sin(α)

(2) in (1) eingesetzt

Fb • (sin(β) • cos(α) + cos(β) • sin(α)) = Fres •  sin(α)

mit Additionstheorem 

sin(x) • cos(y) = (sin(x-y) + sin(x+y))/2 = (-sin(y-x) + sin(x+y))/2

wird

sin(β) • cos(α) + cos(β) • sin(α) = sin(β+α)

Fb • sin(β+α) = Fres •  sin(α)

Werte einsetzen (sin(30°) = 1/2)

500N • sin(β+30°) = 750N / 2

sin(β+30°) = 1,5/2

β = arcsin(1,5/2) – 30° = 18,6°

Aus (2)

Fa = 500N •  sin(18,6°) / sin(30°) = 319N

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Kommentar von Schule03
25.10.2016, 23:22

Wow ok danke sowas bfäuchte ich ih werd mir das morgdn nochmal genauer anschaun im ersten blick... tja komm ich nicht so mit haha aber danke

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Kommentar von Schule03
26.10.2016, 21:49

Wie kommst du beim vorletzten schritt 

β = arcsin(1,5/2) – 30° = 18,6°

Auf den winkel, denn kch hab es im taschenrechner eingegeben, da ist aber was anderes rausgekommen

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Im Folgenden wird verwendet:

- Fa = Kraft A

- Fb = Kraft B

- Fres = Fg = resultierende Kraft


Vervollständige die Skizze zu einem Parallelogramm.

Wir halbieren dieses in Mitte und erhalten ein Dreieck mit den 3 Seiten der Länge: Fg, Fa, Fb

Der Winkel 30° liegt dabei zwischen Fa und Fg.

Die Seite Fb liegt gegenüber von dem zuvor erwähnten Winkel.

Wir wenden nun den Kosinussatz an (siehe Link):

http://www.frustfrei-lernen.de/mathematik/kosinussatz.html

Wir erhalten die Gleichung:

--> Fb² = Fa² + Fg² - 2*Fa*Fg*cos(30°)   II - Fb²

--> 0 = Fa² - 2*Fa*Fg*cos(30°)+ Fg² - Fb²

Wenn wir jetzt zum Zweck der Anschaulichkeit das Fa durch ein x ersetzen folgt:

--> 0 = x² - 2*Fg*cos(30°)*x + Fg² - Fb²

Eine quadratische Gleichung die wir jetzt mit der pq-Formel nach dem x auflösen können:

--> x(1|2) = Fb*cos(30°) +/- sqr( (Fg*cos(30°))² - (Fg² - Fb²) )

(wobei wir an Stelle der Quadrazwurzel sqr(...) schreiben)

Setzen wir die Werte ein, so erhalten wir:

x(1) = 980,2   und   x(2) = 318,8

als zwei mögliche Lösungen für die Kraft Fa.


Nun berechnen wir den Winkel beta = Wb.

Der Winkel Wb liegt zwischen Fres und Fb.

Wir zeichnen nun eine Höhe h senkrecht zu Fg in das Dreieck, so dass 2 rechtwinklige Dreiecke entstehen. Diese Höhe teilt Fg in 2 Teile, Fg(1) ist dabei der Teil im Dreieck mit Wb und Fg(2) der Teil im Dreieck mit Wa = 30°.

Es folgt also:  Fg = Fg(1) + Fg(2)

Es gilt des weiteren:

cos(Wb) = Fg(1)/Fb    (*)

und

cos(Wa) = Fg(2)/Fa

Damit also:  Fg(1) = Fg - Fg(2) = Fg - cos(Wa)*Fa

Einsetzen in (*) liefert dann:

cos(Wb) = ( Fg - cos(Wa)*Fa )/Fb

Nun wenden wir den arccos auf beiden Seiten an ( oder auch cos^(-1)(...))

--> Wb = arccos{( Fg - cos(Wa)*Fa )/Fb}


Nun können wir die gegebenen und berechneten Werte einsetzen und erhalten:

Wb(1) = 101,4°    und      Wb(2) = 18,59°

Damit erhalten wir also zwei Lösungen:

1.)  Fa = 980,2   und    Beta = 101.4°

2.)  Fa = 318,8   und    Beta = 18,59°

Wichtig ist an der Stelle, dass nur 2.) die Aufgabe löst, alleine schon wenn man es sich geometrisch Veranschaulicht.

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Der Lösungsansatz ist:
Zeichne dir das Kräftedreieck mal (eventuell) maßstäblich auf.
Du stellst fest, daß du in dem Dreieck zwei Seiten und einen gegenüberliegenden Winkel hast.
Das ist ein Fall für den Cosinussatz. 
Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, wobei hier offensichtlich der kleinere Wert zutreffend ist.
Da du jetzt alle Seiten - also auch FA  - hast, sowie einen Winkel, kannst du dir leicht auch den gesuchten Winkel beta ausrechnen.

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Ausgehend von den zwei Pfeilen zeichnet ihr ein Parallelogramm, das von den beiden aufgespannt wird, die "Resultierende" muss dann eine Diagonale des Parallelogramms sein. Jetzt müsste man mit dem Cosinussatz arbeiten können, um Fa und den anderen Winkel zu bestimmen.

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Kommentar von Schule03
25.10.2016, 23:06

Ja bis zum cosinussatz bib ich auch schon gekommen bei mir kommt aber der falsche winkel raud

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Die Aufgabe ist so nicht lösbar. 

Man kann zwar ein Verhältnis Fa/beta bilden, aber da kommt eine ganze Lösungsschar heraus mit entsprechend unterschiedlich großen Resultierenden.

Oder anders gefragt: verschweigst du die Masse der Kugel?

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Kommentar von Viktor1
25.10.2016, 23:05
verschweigst du die Masse der Kugel?

Für was brauchst du die Masse ?
Hier ist die Gewichtskraft schon angegeben (750) wenn auch unglücklich in der Frage platziert.

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Kommentar von Schule03
25.10.2016, 23:07

Also das sibd kräfte zerlegungen da braucht man die masse nicht

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