Wie kommt man auf das Ergebnis ohne Taschenrechner?

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5 Antworten

x            = 36^log6 (2)             | beide Seiten logarithmieren auf Basis 6
log6 (x) = log6 (36^log6 (2))    | 3. Log-Gesetz
log6 (x) = log6 (2) * log6 (36)  | 36 = 6², daher log6 (36)=2
log6 (x) = 2 * (log6 (2))            | 3. Log-Gesetz andere Richtung
log6 (x) = log6 (2)²                   |  umformen
log6 (x) = log6 (4)                    |  log wieder weglassen
         x  =  4

Erläuterung
3. Logarithmengesetz (und das meine ich oben):

log (a)^n = n * log (a)

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Der Logarithmus im Exponenten ist schon mal ein Hinweis.

Hier ist es der Logarithmus zur Basis 6.

Der Ausdruck lässt sich leicht vereinfachen, wenn die Basis des gesamten Ausdrucks 6 oder eine Potenz von 6 ist.

Hier haben wir "Glück" - 36 = 6^2

Dann können wir den Ausdruck wie folgt umformen:

36^log_6(2) = (6^2)^log_6(2) = 6^(2 * log_6(2))

Diese ersten Umformungen sind Anwendungen der Potenzgesetze - hier habe ich versucht, alles möglichst auf die Basis 6 zu beziehen und möglichst nur einen Potenzausdruck zu haben.

... = 6 ^ (log_6(2) * 2)

Diese Umformung habe ich gemacht, um einen Ausdruck der Form 6^log_6(x) vorzubereiten.

... = (6^log_6(2))^2

Weiter solltest du selbst kommen.

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log_6(2) bedeutet: 6 hoch "was" ergibt 2?
als Mathematiker nennen wir dieses was gerne mal "x".
Also: log_6(2) = x genau dann, wenn 6^x = 2.

Das ärgerliche: wir kennen dieses x nicht. Das einzige, was wir wissen ist: wir rechnen 36^x.
Jetzt muss man sehen, dass 36 = 6 * 6 = 6² ist.
Also 36^x = (6²)^x.

Aus den Potenzgesetzen folgt: (6²)^x = 6 ^ (2 * x) = (6^x)^2

Wir kennen zwar x nicht, wissen aber dass 6^x = 2 (siehe oben)

Also: (6^x)^2 = 2² = 4.

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log b (x) sprich Logarithmus von x zur Basis b ist die Zahl, mit der du b potenzieren musst, um x zu bekommen. Daraus folgt:  b ^ log b (x) = x, denn jetzt potenzierst du b mit genau dieser Zahl, also kommt x raus.

6 ^ log 6 (2) ist daher 2.

Nun hast du aber 36, das ist 6*6, also kannst du es schreiben als

6 ^ log 6 (2) * 6 ^ log 6 (2) = 2*2 = 4

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