Wie könnte man diese Aufgabe noch lösen?

Das gefärbte Rechteck  - (Schule, Mathe, Mathematik)

6 Antworten

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Hallo,

es bewegt sich 10 Sekunden lang mit 30 m/s, 

macht also 10*30*m*s/s=300 m und entspricht der Fläche unter der Kurve im fraglichen Bereich.

Herzliche Grüße,

Willy

Cool, genau so habe ich das gerechnet und genau das habe ich raus!
Vielen Dank!!

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Hallo, ich hätte noch eine kleine Frage, wenn es ok ist. Wenn ich die Strecke des Fahrzeugs in den ersten 20 Sekunden berechnen möchte, kann ich das mit der gleichen Formel machen?
Weil die Geschwindigkeit bleibt ja nicht immer gleich.
Ich habe das jetzt genau so gerechnet (hab' also 600m/0,6km raus) bin mit aber nicht sicher, da er ja nicht konstant 30 fährt, sondern beschleunigt.

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@somesmoporcriar

Nein. Du müßtest die Gleichung der Beschleunigung ermitteln, die hier leider nicht konstant ist, sondern exponentiell.

Wenn Du diese Gleichung hast, mußt Du sie von 0 bis 20 integrieren.

Zugrundeliegen könnte eine Funktion der Form f(x)=ax²+bx+c oder f(x)=a*e^(bx).

Wenn Du einen Rechner hast, der die Regression beherrscht, könntest Du ihn mit abgelesenen Werten füttern und sehen, ob das Ergebnis zu anderen Werten paßt.

Das heißt, wegen (0|0) kann a*e^(bx) eigentlich nicht sein.

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@somesmoporcriar

Nun hast du's schon gehört.
Das geht nur mit Integralrechnung. Und das ist für dich sicher noch Zukunft.

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@Willy1729

f(t)=-0,0727t²+2,955t-0,0727 kommt der Kurve zwischen t=0 und t=20 recht nahe.

Die Stammfunktion lautet dann -0,02423t³+1,4775t²-0,0727t+C

Für t=0 ergibt das 0 (+C), das C wird bei der Berechnung aufgehoben und spielt keine Rolle, für t=20 bekommst Du 395,706 heraus, was dann die gesuchte Strecke wäre.

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@somesmoporcriar

Dass dies über das Integral zu lösen ist, haben Andere hier schon kommentiert. Aber kurz zur Interpretation des Ganzen:

In beiden Fällen (d.h. in der eigentlichen Aufgabenstellung und bei deiner Zusatzfrage) ist die Lösung die Fläche unter der Kurve im gesuchten Intervall. In dem von dir geposteten Bild ist diese Fläche gelb eingefärbt (ist einfach zu berechnen, da die Fläche ein Rechteck ist.).

Um auf die Lösung deiner Zusatzaufgabe zu kommen, muss man die Fläche unter der Kurve im Intervall von 0 bis 20 bestimmen.

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Wir fangen jetzt Integralrechnung an, deswegen sollten wir uns eigentlich nur den Zettel anschauen, wollte aber schon etwas voreiliger sein und mir die Sachen schonmal versuchen auszurechnen.
Aber no way.
Ich habe nämlich keine Ahnung wie man das in Dent Aschenbecher eingibt, geschweige denn woher(wie) diese Zahlen kommen (sie entsenden sind).
Aber vielen lieben Dank!

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@somesmoporcriar

Ich hatte einfach einige Punkte aus der Kurve abgelesen, die Statistikfunktion meines Rechners aufgerufen, die Grundfunktion ax²+bx+c gewählt, die Punkte dort eingegeben und auf Regression gedrückt.

Man kann die Sache mit mindestens drei abgelesenen Werten auch über ein Gleichungssystem lösen - so ist es aber bequemer.

Einen Rechner, der so etwas kann, bekommst Du schon für 20 bis 25 Euro.

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@Willy1729

Solange Du noch keine Integralrechnung beherrschst, kannst Du eine Abschätzung vornehmen.

Die Zeit zwischen 0 und 20 Sekunden ist 8 Abschnitte von jeweils 2,5 Sekunden eingeteilt (die einzelnen Kästchen).

Du liest nun der Reihe nach die Funktionswerte ab, die sich genau zwischen zwei Kästchen befinden, summierst sie und multiplizierst die Summe mit 2,5. Du hast also die Fläche unter der Kurve in acht Rechtecke eingeteilt, die leicht zu berechnen sind. Sie haben zwar unterschiedliche Höhen, aber die Breite beträgt immer 2,5.

So kommst Du auf 2,5*(4+10+16+21+23+27+28+29,5)=396,25 m, was dem zuvor errechneten Integral recht nahe kommt.

Das ist eine vereinfachte Form der Trapezformel, einem Näherungsverfahren für das Berechnen von krummlinig begrenzten Flächen.

Noch genauer ginge es mit Hilfe der Simpsonregel, bei dem die einzelnen Teilflächen jeweils durch eine Parabel begrenzt werden. Das führte dann aber zu weit.

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Vielen Dank für den Stern.

Willy

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Ich habe das bei PLOT eingegeben... ich glaube dass ist das, oder?
Weil wir hatten das in Physik so ähnlich, haben das aber Plotten genannt.

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Prinzipiell würde man diese Aufgabe mit der Integralrechnung angehen und die Fläche unter der Kurve im Intervall x ∈ [20; 30] berechnen.

Denn v = s/t s = v ⋅ t

Und da v und t die beiden Koordinatenachsen darstellen, entspricht die zurückgelegte Strecke dem Produkt und somit der Fläche unter dem Graphen.

Jetzt allerdings mit Integralen anzufangen, wäre mit Kanonen auf Spatzen geschossen. Da die Geschwindigkeit im Bereich x ∈ [20; 30] konstant ist, entspricht die Fläche unter dem Graphen einem normalen Rechteck - also Länge mal Breite.

Die Breite wären 10 [s], die Länge (Höhe) 30 [m/s].

Also s = 10 ⋅ 30 [m] = 300 [m]. Und das ist die gesuchte Strecke.

Würde man die Strecke im Bereich x ∈ [0; 30] berechnen wollen, müsste man sich dann doch eines Integrals bemühen.

Wenn Dich die Integralrechnung und die daraus folgende Flächenberechnung interessiert, dann guck doch mal hier:

https://de.serlo.org/mathe/funktionen/stammfunktion-integral-flaechenberechnung/flaechen-volumenberechnung-integralen/flaechenberechnung-integralen

LG Willibergi

Vom Prinzip her löst man solche Aufgaben folgendermaßen:

Die Formel sagt: s = v * t
Die Fläche A eines Rechteckes ist A = h * b (Höhe mal Breite)

nun entspricht v = h und t = b, also ist A = s

Als nächstes rechnet man 1 Rechteck aus:
da ist h = 5 m/s und b = 2,5 s, also entspricht die Fläche eines Rechtecks 12 ,5 m

Jetzt hast du die Grundgröße und brauchst nur noch die Rechtecke abzuzählen und mit der Grundgröße zu multiplizieren. Das Verfahren funktioniert dann auch links unterhalb der gebogenen Kurve, wobei man dann an der Kurve direkt abschätzen muss, ob das z.B. 1/4, 1/3 oder 1/2 Kästchen ist und entsprechend dazu addieren. 

Hier ergibt sich:
s = 24 Kästchen á 12,5 m = 300 m

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