Wie kann man zeigen dass eine Abbildung (eindeutig) erweiterbar auf R^3 ist?

 - (Mathematik, lineare-algebra, lineare Abbildungen)

2 Antworten

Du hast eine lineare Abbildung und weißt, wie die auf irgendeiner Basis (in deinem Fall die kanonische Basis) aussieht. Nimm dir nun einen beliebigen Vektor v des IR^3. Wie kannst du v dann durch deine Basis darstellen? Wie sieht also fa(v) aus?

Woher ich das weiß:Studium / Ausbildung

Wo hast du denn Probleme? Bei der Eindeutigkeit oder bei der Existenz? Die beiden Probleme kannst du völlig unabhängig voneinander betrachten.

Ich kenne die Definition der Eindeutigkeit und Erweiterung nicht

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@Kroplay99

(Sorry, bissel zu früh gesendet.)

Lemma 1. Seien g, h : V ⟶ W lineare Abbildungen zw. Vektorräumen V, W. Angenommen, g und h stimmen auf einem erzeugenden System (z. B. einer Basis) von V überein. Dann gilt g=h.
Beweis. Sei E⊆V ein erzeugendes System, auf dem g und h übereinstimmen. Sei x∈V. Zu zeigen: g(x)=h(x). Da E V erzeugt, existiert eine lineare Darstellung x = ∑c(e)·e für e in E, wobei die c(e) Skalare sind mit c(e)=0 für alle bis auf endlich viele e in E. Wegen Linearität erhält man

g(x) = ∑c(b)·g(b) = ∑c(b)h(b) = h(x)

Also gilt h=g. QED.

Lemma 2. Seien V, W Vektorräume und B⊆V eine Basis und ƒ : B⟶W eine Funktion. Dann existiert eine lineare Erweiterung g : V⟶W, so dass g ⊃ ƒ.

Beweis. Für jedes x∈X existieren per Definition einer Basis eindeutige Skalare c(x,b) für b∈B mit c(x,b)=0 für alle bis auf endlich viele b∈B und so dass x = ∑c(x,b)·b (Summe über alle b∈B). Setze

g(x) := ∑c(x,b)·ƒ(b)

Dann ist g(x) ein wohldefiniertes Element in W für alle x∈V, da die Summe immer endlich ist. Es reicht aus zu zeigen, dass g eine Erweiterung und linear ist.

Erweiterung: sei ξ ∈ B. Dann hat ξ die (notwendigerweise) eindeutige Darstellung ξ = ∑c(b)·b wobei c(ξ)=1 und c(b)=0 für alle b∈B\{ξ}. Per Definition gilt

g(ξ) = ∑c(b)·ƒ(b) = 1·ƒ(ξ) = ƒ(ξ).

Also stimmt g mit ƒ auf B überein (in Symbolen g ⊃ ƒ), d. h. g ist eine Erweiterung von ƒ.

Linearität. Seien x, y ∈ V und t ein Skalar. Beachte:

(1)... tx+y = t·∑c(x,b)·b + ∑c(y,b)·b = ∑(t·c(x,b)+c(y,b))·b

weil die Summen endlich sind. Wegen Eindeutigkeit der Darstellung des Elementes tx+y∈V als

(2)... tx+y = ∑c(tx+y,b)·b

folgt hieraus

(3)... c(tx+y,b) = t·c(x,b) + c(y,b) für alle b∈B.

Per Definition von g gilt also

g(tx+y) = ∑c(tx+y,b)·ƒ(b) per Definition von g
= ∑(t·c(x,b) + c(y,b))ƒ(b) wegen (3)
= t·∑c(x,b)·ƒ(b) + ∑c(y,b)·ƒ(b)
= t·g(x) + g(y) per Definition von g(x), g(y)

Also ist g linear. QED.

Satz. Seien V, W Vektorräume und B⊆V eine Basis und ƒ:B⟶W eine Funktion. Dann existiert eine eindeutige lineare Erweiterung von ƒ zu V⟶W.

Beweis. Laut Lemma 2 existiert eine lineare Erweiterung g:V⟶W mit g ⊃ ƒ. Laut Lemma 1 ist dies eindeutig, d. h. für alle h:V⟶W, die ƒ erweitern, gilt h=g. QED.

Deine Aufgabe. Da {e1,e2,e3} eine Basis für V=IR³ ist gelten die Behauptungen laut des o. s. Satzes.

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@Kroplay99

Ich freu mich : ) Es ist ein allgemeiner mathematischer Ansatz.
Einige Dozenten/Tutoren in deinem Kurs erwarten wahrscheinlich den dummen Ansatz, wobei man spezifisch für dieses Problem eine Erweiterung explizit konstruiert (d. h. ƒ(x) = Matrix · x, wobei diese Matrix durch die Spalten gegeben ist) und dann zeigt, dass diese eindeutig ist. Das Problem damit ist, dass man dennoch spätestens bei dem Beweis der Eindeutigkeit etwas verallgemeinert arbeiten muss, sodass es eigentlich besser gewesen wäre, einfach den allgemeinen Satz zu beweisen.

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