Wie kann man von einer Wertetabelle die Funktionsgleichung herausfinden?

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7 Antworten

Für n Punkte gibt es immer genau eine ganzrationale Funktion höchstens (n-1)-ten Grades, die sie enthält. Wegen n-1 = 2 ist das hier z.B. eine Parabel (könnte aber auch eine nicht waagreche Gerade sein, also eine ganzrationale Funktion ersten Grades, oder eine waagrechte Gerade, also eine ganzrationale Funktion nullten Grades).


A. Die Funktion lässt sich mit dem Lagrange-Polynom direkt hinschreiben.

Für drei Punkte

(x1 | y1), (x2 | y2), (x3 | y3)

hat das Lagrange-Polynom die Form:

f(x) =

y1 (x - x2)(x -x3) / ( (x1 - x2)(x1 - x3 ) ) +

y2 (x - x1)(x -x3) / ( (x2 - x1)(x2 - x3 ) ) +

y3 (x - x1)(x -x2) / ( (x3 - x1)(x3 - x2 ) );

Das ist nicht so schlimm, wie es aussieht. Beispielsweise siehst du am y1-Summanden

y1 (x - x2)(x -x3) / ( (x1 - x2)(x1 - x3 ) ):

Wenn x = x2 eingesetzt wird, ist der Summand "ausgeschaltet", denn dann steht im Zähler ein Faktor (x2 - x2) = 0, und also ist das Ding = 0 und fällt weg. Genauso, wenn x = x3 eingesetzt wird. Wenn aber x = x1 eingesetzt wird, lässt sich der Bruch zu "1" zusammenkürzen, und y1 bleibt alleine stehen.

Entsprechend mit den anderen Summanden. Wenn du also in die Funktion insgesamt x = x1 einsetzt, passiert Folgendes:

Der y1-Summand hat den Wert y1, die anderen beiden Summanden sind ausgeschaltet und fallen weg ⇒ die ganze Funktion hat den Wert y1.

Entsprechend hat die ganze Funktion des Wert y2, wenn du x2 einsetzt ( = der y2-Summand hat den Wert y2, der Rest fällt weg) und den Wert y3, wenn du x3 einsetzt. Deswegen geht die Funktion genau durch die drei vorgegebenen Punkte.


B. Für dein Beispiel mit den Punkten

(-5 |10) (-4 | 5) (-3| 2)

ist f(x) =

10 (x+4)(x+3) / ( (-5+4)(-5+3) )

+5 (x+5)(x+3) / ( (-4+5)(-4+3) )

+2 (x+5)(x+4) / ( ( -3+5)(-3+4) ) =

nach Ausrechnen und Zusammenfassen:

x² + 4x +5.


C. Alternative:

Die Funktion hat die allgemeine Form ( = Normalform der Parabelgleichung):

y = ax² +bx +c.

Nun kannst du die Punkte einsetzen und bekommst ein Gleichungssystem:

10 = a(-5)² + b(-5) +c = 25a -5b +c

5 = a(-4)² + b(-4) +c = 16a -4b +c

2 = a(-3)² + b(-3) +c = 9a -3b +c

diese Gleichungssystem kannst du mit Gleichsetzen, Einsetzen oder Additionsverfahren auslösen und bekommst:

a = 1, b = 4, c = 5,

also das gleiche Ergebnis wie in B.

Durch Regressionsrechnung. Wie das im einzelenn geht hängt von der Funktion ab, die man an die Wertepaare anpassen will.

Hallo.

In einer Funktionsgleichung hast du ja jeweils x und y gegeben. Um die Steigung m zu erhalten, teilst du y durch x. Willst du jetzt den y-Achsenabschnitt b, also den Schnittpunkt des Graphen mit der Achse (sofern vorhanden) bestimmen, nimmst du dir den x-Wert, den y-Wert und die Steigung. Du kennst sicher die allgemeine Funktionsgleichung y= mx+b. Und in diese setzt du für x den x-Wert, für y den y-Wert und für m die gerade errechnete Steigung ein. Die übrig bleibende Variable ist b, und nach dieser wird aufgelöst.

Ist b= 0, geht die Gerade durch den Nullpunkt und wird dann proportionale Funktion genannt.

Ich hoffe ich konnte dir helfen.

lg ShD

ich habe gerade an der Antwort von Volens gesehen, dass da schon drei Punkte angegeben waren. Meiner Meinung nach ist das keine lineare Funktion da der dritte Punkt nicht auf der Geraden liegen würde. Mir würde jetzt in den Sinn kommen, dass hier eine Funktion höheren Grades gemeint sein könnte, da z.B. Volens davon ausgeht, dass sie alle auf einem Graphen liegen. Und das glaube ich auch- also ist eine lineare Funktion/ Funktion ersten Grades nicht möglich.

lg ShD

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Da fehlen Informationen. Meistens wird der Grad einer Funktion vorgegeben. Dann nimmst du die entsprechende allgemeine Funktionsgleichung wie z.B. f(x) = ax³ + bx² + cx + d und stellst mit den gegebenen Punkten der Wertetabelle ein LGS auf, mit dem du dann die unbekannten a, b, c, d lösen kannst.

Ich finde, man kann dir dann auch freundlich sagen, dass die Information nicht ausreicht, um eine kompetente Antwort zu geben. Andererseits steckst du in einer Zwickmühle, denn wenn jemand meint, es sei nur eine Hausaufgabe, und du wolltest sie hier lösen lassen, dann würde sie gelöscht werden. Du kannst jetzt aber die Aufgabe in einen Kommentar schreiben. Der wird dann nur noch als zusätzliche Erläuterung interpretiert.

Also zum Beispiel einfach diese oder eine andere Antwort kommentieren!

Weiter unten habe ich gerade die Punkte

(-5/10) (-4/5) (-3/2)

gesehen. Sollen die alle auf dem Graphen einer Funktion liegen? Es ist verdächtig, dass du z.B. davor schreibst.

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Guten Tag,

Könntest du uns ein Beispiel nennen an dem wir es dir erläutern können

Ich galube nämlich ich weiß was du meinst allerdings bräuchte ich ein Beispiel woran ich es dir erklären kann

z.B. (-5/10) (-4/5) (-3/2)

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wenn es eine gerade sein soll, dann nach dem verfahren von sosohatsdrauf. wenn es eine funktion höheren grades sein soll (x², x³ oder noch höher) dann mit einer steckbriefaufgabe. wenn es so ist, kommentier mal drunter, weil ich kein bock habe erst alles zu schreiben und dann ist es ne gerade. :D ich schreibe es drunter wenn es keine gerade sein soll.

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