Wie kann man von einer Linearfaktordarstellung die Nullstellen ablesen?

3 Antworten

Beispiele:

f(x)=x²+2x+1
in Linearfaktoren zerlegt:
f(x)=(x+1)(x+1)
Du siehst: Wir haben eine doppelte Nullstelle bei x=-1 (da, wenn du x=-1 setzt, der gesamt Ausdruck gleich 0 wird)

oder

f(x)=x²+4x+3

Man erhält für die Nullstellen mit Hilfe der pq-Formel/Mitternachtsformel die Nullstellen
x1=-1 und x2=-3

Und spaltet diese nun folgendermaßen ab:
f(x) =(x-x1)(x-x2)

f(x)=(x+3)(x+1)

Multipliziert du die Linearfaktorzerlegung wiederum aus, so musst du dein Ausgangspolynom erhalten.

Es gibt folgender Verfahren, um Nullstellen zu ermitteln (rein algebraisch)

1. Ein Produkt ist gleich 0, wenn einer der Faktoren gleich 0 ist. (3x=0 -> x=0)
2. Einfach lineare Gleichung lösen (2x+3=0, nach x hin umgestellt)
3. pq-Formel anwenden bei x-Potzenzen <= 2
4. Für höhere Potzenzen von x: Polynomendivision, Horner-Schema...

Ich hoffe, ich konnte dir helfen 

Nullstelle y=0  also f(x)=0

Satz vom Nullprodukt:

Ein Produkt ist genau dann Null, wenn mindestens einer der Faktoren null ist.

Beispiel:

f(x)=5 * (x-3)² * (x+2)

Nullstellen (Faktor gleich null setzen => bedeutet wenn man auch diesen Schritt verzichten will, das Vorzeichen dreht sich um)

A)    x-3=0      => x=+3     (es ist eine doppelte Nullstelle)   x1/2=3

B)     x+2=0    => x3=-2 

Es gibt Aufgaben, bei denen die Nullstellen gegeben sind und man damit die Funktionsgleichung bestimmen kann. Hier dreht sich auch das Vorzeichen um:

Einfaches Beispiel zu Parabeln:

Eine nach oben geöffnete Normalparabel hat die Nullstellen x1=-3 und x2=1. Bestimme die Funktionsgleichung

f(x)=(x+3)*(x-1)   

Kann dann auch so geschrieben werden

f(x)=x²+2x-3

Wenn die Linearfaktoren zum Beispiel (x-5) (x-3) lauten, sind die Nullstellen 5 und 3

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