Wie kann man sich diesen Vektorraum vorstellen?

2 Antworten

Vom Fragesteller als hilfreich ausgezeichnet

Stell dir vor, du würdest die Spalten der Matrix nicht nebeneinander sondern untereinander schreiben, sodass ein normaler Spaltenvektor mit 9 Komponenten dabei herauskommt. Diese Abbildungsvorschrift definiert einen Isomorphismus zwischen dem K^(3x3) und dem K^9.

Woher ich das weiß:Studium / Ausbildung – Mathestudium

vielen vielen Dank!:)

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Sorry, dass ich nochmal nachhake aber, dieser Vektorraum hat doch unendlich viele Untervektorräume, oder?

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@Qualle12

Das kommt auf K an... Wenn K die Menge der reellen Zahlen ist, hat der Raum unendlich viele Unterräume (was bei 9 Dimensionen nicht so überraschend ist; schon der IR² hat unendlich viele Unterräume, etwa die ganzen Ursprungsgeraden).

Wenn K hingegen der Körper mit 2 Elementen ist, gibt es nur endlich viele Elemente in K^(3x3). Damit ist auch die Potenzmenge von K^(3x3) endlich. Und da jeder Unterraum ein Element der Potenzmenge ist, kann es nur endlich viele Unterräume geben.

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Weil man sich eine eine Matrix als
Zeilenvektor, dessen Elemente Spaltenvektoren sind
bzw.
Spaltenvektor, dessen Elemente Zeilenvektoren sind ,
vorstellen kann.
der Zeilenvektor hat Länge 3, die 3 spaltenvektoren darin haben alle länge 3.

Von daher kommt man da über 3 mal 3 auf 9.
Oder so :-)

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Unwichtig für dich gerade aber interessant:

Wenn du nun statt Zahlen als elementen jeder Spaltenvektor nun je einen "Tiefen"vektor der länge 3 hat,
ist das ganze Gebild schon eine räumliche Dimension größer und hat die mathematische Dimension 3x3x3=27.

(stell dirs einfahc so vor:
ine Zahl ist die erste ebene und erstreckt sich in 0 richtungen.
ein vektor erstreckt sich in 1 richtung.
eine matrix in 2 richtungen
das obige gebilde erstreckt sich in 3 richtungen. und müsste wenn man es darstellen wollte, als 3 dimensionales objekt gebaut werden (zeichnen geht in 3d nicht mehr. logisch. weil blatt 2d.)
so kannst du gebilde bauen, zu denen im 1d und 2d fall vektoren und matrizen gehören und die man allgemein tensoren nennt.
und ja, eine zahl kann man auch als 1x1 Matrix aufassen und Dergleichen :-) )

vielen vielen Dank!:)

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Sorry, dass ich nochmal nachhake, aber muss man irgendetwas bestimmtes beachten, wenn man den Kern von so einer Matrix berechnen will?

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@Qualle12

Naja, wüsste ich eigentlich nicht.
Musst halt einen Vektor x bestimmen sodass
M*x gleich dem Nullvektor ist.

Halt ein lineares Gleichungssystem wo hinten nur Nullen stehen.

Da kann dir halte das Übliche passieren was dir grundsätzlich bei linearen Gleichungssystemen passieren kann:
Dass es keine Lösung gibt, dass es eine Lösung gibt, dass es mehrere gibt oder auch dass es unendlich Viele gibt.

Es gibt sicher Regeln wonach man anhand der Dimension, dem Rang der Matrix und Co. direkt ablesen kann wie viele Lösungen es gibt.
Weiß ich aber nicht auswendig :-)

Ich würde einfach mein Glück mit dem üblichen Gauß-jordan versuchen und fertig :-)

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@Qualle12

Hallo, sorry dass ich noch mal was nachfrage, aber mir ist dazu doch nochmal eine Unklarheit aufgekommen.

Du hast ja geschrieben: "Wenn du nun statt Zahlen als elementen jeder Spaltenvektor nun je einen "Tiefen"vektor der länge 3 hat,"

Aber wie kann man sich diese "Zahl" genau vorstellen. So wie ich das verstanden habe, steht so eine Zahl in diesem Fall ja für eine 3x3-Matrix. Aber wie kann diese Zahl genau eine Matrix darstellen? Was wäre der Unterscheid zwischen einer Matrix die z.B. durch eine 4 dargestellet wird zu einer Matrix, die durch eine 2 repräsentiert wird?

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@Qualle12

Schon einmal ein Schachbrett gesehen?

sagen wir du betrachtest eine Bereich von 3 kästchen hoch und 4 kästchen breit.
in jedem kästchen befindet sich eine einzelne zahl.
diesen kompletten 3x4 bereich kann man dann logisch als 3x4 matrix bezeichnen und jene der zahlen, die darin vorkommen, als ihre elemente.

nun kommen, da es 3*4=12 kästchen insgesamt sind, auch 12 zahlen drin vor.
daher ist die dimension dieser matrix auch 3*4=12.

warum man das nun so rechnen darf?

nun, da kannst hingehen und sagen:

ein vektor der länge n enthält ja n "elemente".
elemente sind üblicherweise zahlen, aber weils einem gefällt, lässt man auch andere sachen als elemente durchgehen.

jedenfalls kann man sagen:

das brett besteht aus einem Vektor der länge 3, dessen "elemente" wiederum Vektoren der länge 4 sind.
sprich, du fasst jede zeile als ein "element" auf und und hast dann eben einen vektor, der jene 3 zeilen"elemente" enthält.

Einen spaltenvektor der länge 3, dessen elemente wiederum zeilenvektoren der länge 4 sind.

komische anschauungsweise und eigentlich nur dazu da, rechtzufertigen dass du 3*4 rechnen darfst .
Weil die dimension des 3er vektors gleich der summe der dimensionen der elemente sind (also dimension 1. zeile+dim. 2. zeile+dim 3. zeile.

und jede zeile besteht aus 4 elementen und hat daher trivialerweise die dimension 4.
insgesamt also
4+4+4=3*4=12

so in etwa.

die matrix ist nicht dasselbe wie die dimension, die dimension ist lediglich eine Eigenschaft der Matrix.

So wie die Determinante und Ähnliche Sachen auch.

Aber mit diesem Vektor von Vektoren Blabla kannst du dann auch rechtfertigen dass die Dimension eines 3x4x5 3d-Kästchenwürfels (denk an Rubikscube)

eben gerade 3*4*5=60 ist.

Ich weiß, das mit den vektoiren ist unnötig und kompliziert.

geht einfach nur drum, dass man eine 2d matrix ben durch 1d vektoren ausdrücken kann, indem man verschachtelt und sagt, ne matrix wöre ein vektor von vektoren. oder so.

versuch dir das am Besten an nem Schachbrett verständlich zu machen, wenn du dir eine Matrix als ein (rechteckiger) Bereich auf einem Schachbrett vorstelllst, dann gibt dir die Dimension lediglich an, wie viele Kästchen in dem Bereich sind.
Und berehcnen tust du es einfach über zeilenanzahl mal Spaltenanzahl.

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@berndao2

Oha, vielen Dank dass du dir nochmal so viel Mühe gemacht hast, jetzt sollte ich es verstanden haben:) Die Idee mit dem Schachbrett ist super.

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