Wie kann man hier den Grenzwert mit L'Hospital ausrechnen?

3 Antworten

Vom Fragesteller als hilfreich ausgezeichnet

Hallo,

ganz von vorne:

Der Ausgangsterm heißt (pi-2x)^cos(x)

Umformen tust Du ihn zu (exp(ln(pi-2x)))^cos(x)

und das ist exp(ln(pi-2x)*cos(x))

Jetzt geht es mit dem Exponenten ln(pi-2x)*cos(x)alleine weiter.

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Ich forme den um zu ln(pi-2x)/(1/cos(x)) , das hat die Form ∞/∞

Einmal L'Hospital ergibt im Zähler: -2/(pi-2x)

Im Nenner: -1/cos²(x)*sinx=-sin(x)/cos²(x)

Zusammengefasst:

2*cos²(x) / (pi-2x)*sin(x)

Und das ist vom Typ "0/0", also noch mal den guten alten L'Hospital anwenden:

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Die zweite Runde ergibt:

Zähler: 4*cos(x)*sin(x)

Das ist 0 für x=pi/2

Nenner: -2*sin(x)+(pi-2x)*cos(x)

Und das ist -2 für x=pi/2

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Also: Exponent geht gegen 0/(-2)=0

Und der Term mit e hoch geht gegen 1.

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qed

Nach 'ner halben Ewigkeit selbst Probieren hab ich's nun doch hinbekommen - auf genau die Art, wie du es hier geschrieben hast.

Danke für die Antwort.

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Du hast die Form 0^0, welche mit de l'Hospital behandelt werden kann, in die Form "unbestimmt * 0" überführt: ln(0) ist nicht definiert!

du kanst de l'Hospital direkt auf deinen Ausgangsterm anwenden! WENN der Grenzwert dann existiert, DANN war diese Anwendung erlaubt!

Der Bronstein sagt, man soll Ausdrücke ala 0^0 in die Form ln(...)*(...) bringen, da man dann die Form ∞*0 hat. Das macht auch Sinn denn der Grenzwert von ln(0) ist -∞. Ich weis nun wirklich nicht, wieso du meinst, dass ln(0) ein Problem ist. es geht ja nur um Grenzwerte. Ach vllt. sollte ich noch erwähnen, dass der linksseitige Grenzwert gefragt ist - dass der rechtsseitige Grenzwerthier nicht existiert ist klar.

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@Araragiza

Du hast recht, ich habe übersehen, dass ln(0) als Grenzwert -unendlich ist.

Es ist eben doch schon ein paar Jährchen her bei mir. Ich geh' nochmal in mich und melde mich dann nochmal.

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Sieh Dir diese Funktion vorher einmal mit WolframAlpha an. Vielleicht zeigt Dir das, was Dich erwartet.

Habe ich. Ich weis auch, dass 1 rauskommen muss als Grenzwert. Aber ich wüsste nicht welchen Erkenntnisgewinn mit der Graph jetzt beim Berechnen des Grenzwertes bringen soll.

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