Wie kann man erläutern, ob eine Funktion durchgängig steigt, wenn man die Funktionsgleichung gegeben hat?

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3 Antworten

Eine Funktion steigt durchgängig, wenn gilt:

D = ℝ ∧ ∀x∈ℝ: f'(x) > 0

beziehungsweise

D = ℝ ∧ ∄x∈ℝ: f'(x) ≤ 0

Das bedeutet:

Die Funktion ist für alle reellen Zahlen definiert und für alle x gilt, dass diese eine positive Steigung haben (oder es existiert kein Punkt, an dem die Steigung kleiner oder gleich Null ist).

Wäre die Funktion nicht für alle reellen Zahlen definiert, hätte sie eine Definitionslücke und würde dort nicht durchgängig steigen.

Dies ist beispielsweise bei linearen Funktionen mit einer positiven Steigung der Fall:

f(x) = 2x + 3 erfüllt das Kriterium. :)

Ich hoffe, ich konnte dir helfen; wenn du noch Fragen hast, kommentiere einfach. 

LG Willibergi

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Du stellst die Ungleichung f(x)<f(x+d) mit d>0 auf (für f(x)=x³: x³<(x+d)³), vereinfachst durch ausmultiplizieren, kürzen usw. und kommst dann eben zu einer wahren Aussage oder nicht.

Im ersten Fall steigt die Funktion durchgängig im Definitionsbereich, im zweiten Fall nicht.

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Kommentar von Mikkey
10.09.2016, 16:37

Richtig, denn für die Monotonieeigenschaft muss eine Funktion überhaupt nicht differenzierbar sein. f' hat hier nichts zu suchen.

0

Wenn f´(x)>0

Wenn die Steigung an jeder Stelle positiv ist, dann steigt immer die Funktion an.


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