wie kann man eine Zahl teilen durch neun?

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4 Antworten

Division durch 9 mit Rest

Tolle Sache, die du da fandest! Leider gibt deine Quelle keinen Beweis an, so dass ich den mal nachgeliefert habe. Es ist zwar ein "Beweis am Beispiel", aber die Verallgmeinerung ist nicht schwer. Die abstrakte Darstellung mit Summenzeichen wäre nach meinem Geschmack ziemlich unanschaulich.

A. Die Begründung und Funktionsweise der Rechenregeln werden für eine fünfstellige Zahl dargestellt, hängen von der Anzahl der Stellen aber nicht ab.

Eine fünfstellige Zahl z mit den Ziffern a, b, c, d, e ist die Summe von fünf Summen, die jeweils Summanden der Form 9 * 10^i, i<4 haben:

10000a = 9000a +900a +90a +9a +a

1000b = 900b +90b +9b +b

100c = 90c +9c +c

10d = +9d +d

e = +e

Ordnen nach den 9 * 10^i ergibt 5 Kofaktoren a, a+b, a+b+c, a+b+c+d und r = a+b+c+d+e

z = 9000a +900(a+b) +90(a+b+c) +9(a+b+c+d) +r; (1)

z ist also höchstens bis auf r durch 9 teilbar:

z - r = 9 * q, wobei

q = 1000a +100(a+b) +10(a+b+c) +(a+b+c+d);

Fall 1: Rechnung ohne Übertrag

Wenn r < 9 ist und die restlichen Kofaktoren < 10 sind, dann ist r ist bei Division von z durch 9 der Rest, und die restlichen Kofaktoren sind die Ziffern des Quotienten q = (z -r)/9.

Dann der Vergleich der Ziffern von z und der Ziffern von q ergibt : Klappt natürlich nicht, dass die Inhalte einer Spalte genau untereinander stehen:

a     b c       d       e

a   a+b a+b+c   a+b+c+d r = a+b+c+d+e

Erste Rechenregel:

Bei Rechnung ohne Übertrag entsteht jede Ziffer von q aus der Summe der über ihr stehenden Ziffer von z und, falls vorhanden, der links von ihr stehenden Ziffer von q.

Fall 2: Rechnung mit Übertrag

Sei 10 > a + b, aber 10 < a +b +c = 9 +x. (2)

Dann ist

z = 9000a +900(a+b) +90(9+x) +9(9+x+d) +(9+x+d+e)

Die ersten beiden Ziffern von z bilden eine Teilzahl tz = 10a +(a+b). Wegen (2:) 10 > a+b lassen sich die Ziffern von tz nach der ersten Rechenregel bestimmen. tz lässt sich in der Darstellung von z als Kofaktor von 900 auffassen:

z = 900 * tz +90(9+x) +9(9+x+d) +(9+x+d+e)

900 ist eine Summe, die Summanden der Form 9 * 10^i, i < 3 hat:

900 = 9 * 90 + 9 * 9 + 9 * 1

Also bleibt z erhalten, wenn der Kofaktor bei 900 um 1 erhöht und die weiter rechts stehenden Kofaktoren um 9 erniedrigt werden:

z = 900 * (tz+1) +90x +9(x+d) +(x+d+e)

z ist höchstens bis auf r' = x+d+e durch 9 teilbar:

z - r' = 9 * q', wobei

q' = 100 * (tz+1) +10x +(x+d)

wegen (2) ist x < 10. Da alle Ziffern der Teilsumme 100 * (tz+1) +10x von q' kleiner als 10 sind, stimmen sie mit den Ziffern des Quotienten überein, der bei Division von z durch 9 entsteht.

Zweite Rechenregel = Übertragsregel: Klappt natürlich auch hier wieder nicht, dass die Inhalte einer Spalte genau untereinander stehen:

a +b +c = 9 +x, also x = a +b +c -9

a b     c        d          e

a a+b   a+b+c    a+b+c+d     a+b+c+d+e

tz      x+9      x+9+d      x+9+d+e

(Übertrag:)

tz+1   x          x+d        x+d+e 

Wenn bei Rechnung nach der erste Rechenregel eine Zahl y >9 entsteht, wird y um 9 zu x verkleinert und die links neben ihr stehende Teilzahl wie bei schriftlicher Addition um 1 erhöht. Dann sind von links gelesen alle berechneten Zahlen bis einschließlich x die Ziffern eines Quotienten (z -r) /9.

Wie die Tabelle zeigt, können weiter rechts stehende Zahlen wieder nach der ersten Rechenregel bestimmt werden, so lange keine weitere Zahl >9 entsteht. In jenem Fall wird die entstehende Zahl wieder nach Übertragsregel verkleinert.

Wenn die ganz rechts stehende Zahl Y > 8 ist, wird sie um 9 zu R verkleinert und die links neben ihr stehende Teilzahl wie bei schriftlicher Addition um 1 erhöht. R ist sie der Rest der Division von z durch 9.

Der Trick mit der Multiplikation beruht auf dem Distributivgesetz:

a * (b - c) = a * b - a * c gilt für alle Zahlen a, b, c; für die 9 also:

a * 9 = a * (10 - 1) = a * 10 - a * 1 = a * 10 - a;

Es gibt aber kein solches Rechengesetz für

a / (b - c)

im Gegenteil bleiben Differenzen und Summen im Nenner eines Bruchs grundsätzlich stehen, wenn sie keinen gemeinsamen Faktor haben ("Differenz und Summe / kürzt immer nur der Dumme").

Wenn ich dich richtig verstehe, gibt es daher so einen Trick schlicht nicht. Division ist nun einmal die schwierigste Grundrechenart.

Nein, ich glaube einen solchen Trick gibt es bei der Division nicht.

Die Quersumme gibt übrigens nur an, ob eine Zahl durch neun Teilbar ist. Das macht sich bei großen Zahlen ganz praktisch. Zum Beispiel weiß man sofort wenn man die Zahl 938475 sieht, das sie durch 9 und durch 3 Teilbar ist.

die nächst höhere Zehnerzahl suchen (Bei 63 = 70) Dann schauen also von 63 bis 70 sind es 7. Antwort: 63:9=7 Klappt halt nur bei Zahlen bis 100..

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