Wie kann man diese Matheaufgaben begründen?

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3 Antworten

Mit 'symmetrisch' wird Achsensymmetrie zur y-Achse gemeint sein.

Für Achsensymmetrie muss f(x)=f(-x) gelten.

f(x)=(x-t)² = x²-2xt+t²

f(-x)=(-x-t)² = x²+2xt+t²

Das setzt man nun gleich und schaut, für welches t die Gleichung erfüllt ist. Wenn du alles richtig gemacht hast, kommt t=0 raus.

Achsensymmetrie bedeutet f(-x)=f(x) für alle x

(-x+t)²=(x+t)²

x²-2tx+t²=x²+2tx+t²

-2tx=2tx

4tx=0 ist dann 0 wenn t=0 oder x=0, da es aber für alle x gelten soll, muss t=0 sein.

Symmetrisch sind sie natürlich alle, aber zu verschiedenen Symmetrieachsen (Parallelen zur y-Achse im Abstand t).

In der Schule ist aber immer nur die Symmetrie zur y-Achse selber gemeint.
Punktsysmmetrie kann bei einer Parabel zweiten Grades sowieso nicht vorliegen.

Bedingung für Achsensysmmetrie: f(x) = f(-x)

f(x) = (x - t)²         = x² -2xt + t²

Dann ist        f(-x) = ((-x) - t)²               | binomische Regel
                           = (-x)² - 2(-x)t + t²
                           = x² + 2xt + t²

Daher Behauptung:   x² - 2xt + t²  = x² + 2xt + t²      |  -x²-t²
                                   -2xt         =        2xt

                              Das ist nur möglich für t = 0,
damit erhalten wir aus der Kurvenschar nur            f(x) = x²

Es gibt keine mit   t ≠ 0   , die symmetrisch zur y-Achse wäre.

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